Eremiittipolynomit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Eremiittipolynomit
yleistä tietoa
Kaava	$H_{n}(x)=\sum _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Skalaarituote	$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Verkkotunnus	$x\in R$
lisäominaisuuksia
Differentiaaliyhtälö	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Normi	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi ))))$
Nimetty	Charles Hermite

Eremiittipolynomit ovat tietyn tyyppinen yhden reaalimuuttujan polynomijono . Eremiittipolynomit syntyvät todennäköisyysteoriassa , kombinatoriikassa ja fysiikassa .

Nimetty ranskalaisen matemaatikon Charles Hermiten mukaan .

Määritelmä

Todennäköisyysteoriassa Hermite-polynomit määritellään yleensä seuraavilla tavoilla:

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

fysiikassa käytetään yleensä toista määritelmää:

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

Kaksi yllä olevaa määritelmää eivät ole täsmälleen toisiaan vastaavia; jokainen on "skaalattu" versio toisesta

H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)

Eksplisiittiset lausekkeet ensimmäisille yhdelletoista (n = 0,1,…,10) Eremiittipolynomit on annettu alla (todennäköisyyspohjainen määritelmä):

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

Ensimmäiset yksitoista (n = 0,1,…,10) Eremiittipolynomia fysikaalisessa määritelmässä määritellään samalla tavalla:

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

Hermite-polynomien yleinen yhtälö on: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$

Ominaisuudet

Polynomi sisältää vain jäseniä, joilla on sama pariteetti kuin itse luku : $H_n(x)$ $n$
Polynomi on parillinen parilliselle ja pariton paritolle : $H_n(x)$ $n$ $n$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\ldots$ .
Seuraavat suhteet ovat totta: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\lpistettä$ , (todennäköisyyspohjaisessa määritelmässä) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\lpistettä$ . (fysikaalisessa määritelmässä)
Yhtälöllä on todelliset juuret, jotka ovat pareittain symmetrisiä koordinaatiston origon suhteen, ja niiden kunkin moduuli ei ylitä . Polynomijuuret vuorottelevat polynomien juurien kanssa . $H_{n}(x)=0$ $n$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Polynomi voidaan esittää matriisideterminanttina : $H_n(x)$ $n\ kertaa n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Lisäyskaava

Seuraava Hermite-polynomien summauskaava pätee:

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\sum _{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

On helppo nähdä, että seuraavat kaavat ovat sen erikoistapauksia:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Sitten $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum _{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(x)

$n = 2$ , , . Sitten $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}v$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\sum _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Erilaistumis- ja toistuvuussuhteet

Hermite - polynomin kolmannen kertaluvun derivaatta on myös Hermite-polynomi (fysikaalista määritelmää varten): Tämä antaa ensimmäisen derivaatan (fysikaalisen määritelmän) ja kolmen peräkkäisen polynomin välisen toistuvuusrelaation : Fysikaaliselle määritelmälle toistuvuussuhde kolmen peräkkäisen polynomin välillä on: $k$ $H_n(x)$ $n\geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonaalisuus

Eremiittipolynomit muodostavat täydellisen ortogonaalisen järjestelmän painolla tai määritelmästä riippuen: $(-\infty,+\infty)$ $e^{-x^{2}/2}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}

, (todennäköisyyspohjaisessa määritelmässä)

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (fysikaalisessa määritelmässä)

missä on Kronecker-deltasymboli . $\delta _{{mn}}$

Tärkeä seuraus Hermite-polynomien ortogonaalisuudesta on mahdollisuus laajentaa eri funktioita sarjoiksi Hermite-polynomien suhteen. Kaikille ei-negatiivisille kokonaisluvuille merkintä $s$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

Tästä syntyy yhteys Maclaurin-sarjan funktion laajennuskertoimien ja saman funktion laajennuskertoimien välillä Hermite-polynomeilla, joita kutsutaan Niels Nielsen -relaatioiksi: $f(x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $f(x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\sum _{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

Esimerkiksi Kummer-funktion laajennus näyttää tältä:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

jossa on toisen asteen yleistetty hypergeometrinen funktio , on gammafunktio . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Funktioiden hajoaminen, jossa on eksponentti .

Jokaiselle funktiolle, joka on kirjoitettu eksponentin superpositioksi , voidaan kirjoittaa seuraava laajennus Hermite-polynomeilla: $f(x)=\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$
$f(x)=\summa _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\sum _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{({\frac {\alpha _{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Tunnettujen hyperbolisten ja trigonometristen funktioiden laajennuksilla on muoto

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+ 1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Differentiaaliyhtälöt

Eremiittipolynomit ovat ratkaisuja lineaariseen differentiaaliyhtälöön : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Jos on kokonaisluku, niin yllä olevan yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan muodossa $n$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

missä ovat mielivaltaiset vakiot, ja funktioita kutsutaan toisen tyyppisiksi Eremiittifunktioiksi . Näitä funktioita ei ole pelkistetty polynomeiksi ja ne voidaan ilmaista vain käyttämällä transsendenttisia funktioita ja . $A, B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Näkymät

Hermite-polynomit olettavat seuraavat esitykset:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

missä on ääriviiva, joka ympäröi alkuperän. $\Gamma$

Toinen esitys näyttää tältä:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Suhde muihin erikoistoimintoihin

Suhde Kummer-funktioon: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\oikea)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\oikea)$
Yhteys Laguerren polynomeihin : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Sovellus

Kvanttimekaniikassa Hermite-polynomit syöttävät kvanttiharmonisen oskillaattorin aaltofunktion lausekkeen . Dimensiottomissa muuttujissa kvanttiharmonisen oskillaattorin tilaa kuvaavalla Schrödingerin yhtälöllä on muoto:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\oikea)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n}(x)

. Tämän yhtälön ratkaisut ovat oskillaattorin ominaisfunktiot, jotka vastaavat ominaisarvoja . Normalisoituna yhdeksi ne kirjoitetaan muodossa

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\pisteet

. Tässä lausekkeessa käytetään "fyysisiä" Hermite-polynomeja .

H_{n}^{*}(x)

Eremiittipolynomeja käytetään ratkaisemaan yksiulotteinen lämpöyhtälö äärettömällä aikavälillä. Tällä yhtälöllä on ratkaisu eksponentiaalisen funktion muodossa . Koska tällainen funktio voidaan esittää laajennuksena Hermite-polynomien suhteen, ja toisaalta, se voidaan laajentaa Taylor-sarjassa seuraavilla tavoilla : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alpha$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ { n}(x,t)

, sitten funktiot , jotka ovat lämpöyhtälön ratkaisu ja jotka täyttävät alkuehdon , ilmaistaan Hermite-polynomeilla seuraavasti:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\oikea )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy )^{2}}{4t}}}}y^{n}dy

. Viimeisen yhtälön saamiseksi käytettiin Poisson -Fourier- integraalia .

Laserfysiikassa, tai pikemminkin avoimien (optisten) resonaattoreiden teoriassa , Hermite-polynomit sisältyvät lausekkeeseen, joka kuvaa amplitudijakaumaa vastaavan poikittaisen Hermite-Gauss-moodin poikkileikkauksessa (itse asiassa yhden resonaattorin tulo). Hermiittipolynomit ja Gaussin funktio ), jotka ovat ominaisia optisille resonaattoreille, joiden resonaattoripeilien muoto on suorakulmainen.

Linkit

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
John H. Mathewsin Hermite-polynomiinterpoloinnin moduuli

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit