Landaun ongelmia

Vuoden 1912 kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Edmund Landau listasi neljä suurta alkulukuteorian ongelmaa . Nämä ongelmat ilmaisivat hänen puheessaan "voittamattomina matematiikan nykytilanteessa", ja ne tunnetaan nykyään Landau-ongelmina .

  1. Goldbachin arvelu : Voiko mikä tahansa parillinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 4, kirjoittaa kahden alkuluvun summaksi?
  2. Kaksoisoletus : Onko olemassa ääretön määrä alkulukuja p siten, että p + 2 on myös alkuluku?
  3. Legendre-oletus : Onko kahden peräkkäisen täydellisen neliön välissä aina vähintään yksi alkuluku ?
  4. Onko äärettömän monta alkulukua p , jolle p − 1 on täydellinen neliö? Toisin sanoen, onko olemassa ääretön määrä alkulukuja muotoa n 2 + 1? (sekvenssi A002496 OEIS : ssä ).

Kaikki neljä vuoden 2022 numeroa ovat avoinna.

Edistystä kohti ongelmanratkaisua

Goldbachin arvelu

Vinogradovin lause todistaa heikon Goldbach -oletuksen riittävän suurelle n :lle . Vuonna 2013 Harald Helfgott osoitti heikon olettamuksen kaikille parittomille luvuille, jotka ovat suurempia kuin 5 [1] . Toisin kuin Goldbachin ongelma, Goldbachin heikko oletus väittää, että mikä tahansa pariton luku, joka on suurempi kuin 5, voidaan ilmaista kolmen alkuluvun summana. Vaikka Goldbachin vahvaa olettamusta ei ole todistettu eikä kumottu, heikon olettamuksen todiste seuraisi sen todisteesta.

Chenin lause osoittaa, että kaikille riittävän suurille n , joissa p on alkuluku ja q on joko alkuluku tai puoliyksinkertaista . Montgomery ja Vaughan osoittivat, että parillisten lukujen, joita ei voida esittää kahden alkuluvun summana, tiheys on nolla [2] .

Vuonna 2015 Tomohiro Yamada osoitti eksplisiittisen version Chenin lauseesta [3] : mikä tahansa parillinen luku, joka on suurempi kuin alkuluvun ja enintään kahden alkuluvun tulo.

Kaksoisoletus

Zhang Yitang [4] osoitti, että on äärettömän monta alkuparia, joiden jänneväli on rajoitettu 70 miljoonaan, ja tämä tulos parani 246:een, kun se yhdistettiin Polymath [5] -projektiin . Hyväksymällä yleisen Elliot-Halberstamin hypoteesin pisteet paranevat kuuteen ( Meinard [6] , Goldston, Pinz ja Yildirim [7] ).

Chen osoitti, että alkulukuja p (myöhemmin kutsutaan Chen-alkuluvuiksi ) on äärettömän monta siten, että p +2 on alkuluku tai puoliluku.

Legendren arvelu

Riittää, kun tarkistetaan, että jokainen p :tä suurempi alkuluku on pienempi kuin . Alkulukujen välisten enimmäisrakojen taulukko osoittaa, että hypoteesi pitää paikkansa 4×10 18 asti [8] . Vastaesimerkillä noin 10 18 olisi jänneväli viisikymmentä miljoonaa kertaa keskimääräinen jänneväli. Matomaki osoitti, että on korkeintaan oletuksia rikkovia esimerkkejä, joita seuraa suurempi kuin . Erityisesti,

[9] .

Inghamin tulos osoittaa, että minkä tahansa riittävän suuren n :n ja välillä on alkuluku [10] .

Melkein neliön alkulukuja

Friedlander-Ivanetsin lause osoittaa, että äärettömällä määrällä alkulukuja on muotoa [11] .

Ivanets osoitti, että muotoa , jossa on enintään kaksi alkujakajaa , on ääretön määrä [12] [13] .

Ankeny osoitti, että jos yleistetty Riemannin hypoteesi on totta Hecke-merkkien L -funktioille , muotoa c on äärettömän monta alkulukua [14] .

Deshuilliers ja Ivanets [15] , parantaneet Hooleyn [16] ja Toddin [17] tulosta , osoittivat, että muotoa on äärettömän monta numeroa, joilla on suurempi alkukerroin vähintään . Jos korvaamme eksponentin 2:lla, saamme hypoteesin lauseen.

Sitä vastoin Brunin seula osoittaa, että on x : tä pienempiä alkulukuja .

Muistiinpanot

  1. ↑
    • Helfgott, H.A. (2013), Goldbachin lauseen pääkaaret, arΧiv : 1305.2897 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2012), Pienet kaaret Goldbachin ongelmalle, arΧiv : 1205.5252 [math.NT]. 
    • Helfgott, H.A. (2013), Kolmiosainen Goldbach-oletus on totta, arΧiv : 1312.7748 [math.NT]. 
  2. ↑ Montgomery, Vaughan, 1975 , s. 353-370.
  3. ↑ * Yamada, Tomohiro (11.11.2015), eksplisiittinen Chenin lause, arΧiv : 1511.03409 [math.NT]. 
  4. ↑ Zhang, 2014 , s. 1121–1174.
  5. ↑ Polymath, 2014 , s. 12.
  6. ↑ Maynard .
  7. ↑ Goldston, Motohashi, Pintz, Yıldırım, 2006 , s. 61–65.
  8. ↑ Andersen .
  9. ↑ Matomäki, 2007 , s. 489–518.
  10. ↑ Ingham, 1937 , s. 255–266.
  11. ↑ Friedlander, Iwaniec, 1997 , s. 1054–1058.
  12. ↑ Iwaniec, 1978 , s. 178-188.
  13. ↑ Oliver, 2012 , s. 241-261.
  14. ↑ Ankeny, 1952 , s. 913–919.
  15. ↑ Deshouillers, Iwaniec, 1982 , s. 1–11.
  16. ↑ Hooley, 1967 , s. 281-299.
  17. ↑ Todd, 1949 , s. 517–528.

Kirjallisuus

Linkit

 Hypoteesit alkuluvuista _
Hypoteesit