Goldbachin ongelma

Goldbachin ongelma ( Goldbachin olettamus , Eulerin ongelma , Goldbachin binääritehtävä ) on väite, että mikä tahansa parillinen luku 4:stä alkaen voidaan esittää kahden alkuluvun summana . On avoin matemaattinen ongelma  - vuodesta 2022 lähtien väitettä ei ole todistettu. Yhdessä Riemannin hypoteesin kanssa se sisältyy Hilbertin ongelmien luetteloon numerolla 8 .

Perulainen matemaatikko Harald Gelfgott osoitti vuonna 2013 hypoteesin heikomman version - Goldbachin kolmiosaisen ongelman , jonka mukaan mikä tahansa pariton luku 7:stä alkaen voidaan esittää kolmen alkuluvun summana . Binäärisen Goldbach-tehtävän pätevyydestä seuraa kolmiosainen ilmeisellä tavalla: jos jokainen parillinen luku, alkaen 4:stä, on kahden alkuluvun summa, niin lisäämällä 3 jokaiseen parilliseen lukuon saadaan kaikki pariton luku. numerot alkaen 7.

Historia

Vuonna 1742 matemaatikko Christian Goldbach lähetti Leonhard Eulerille kirjeen , jossa hän teki seuraavan oletuksen: jokainen pariton luku, joka on suurempi kuin 5, voidaan esittää kolmen alkuluvun summana.

Euler kiinnostui ongelmasta ja esitti vahvemman hypoteesin: jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin kaksi, voidaan esittää kahden alkuluvun summana.

Ensimmäistä lausetta kutsutaan kolmiarvoiseksi Goldbach-ongelmaksi , toista kutsutaan binääriseksi Goldbach-ongelmaksi (tai Euler-ongelmaksi ).

Waring esitti vuonna 1770 hypoteesin, joka on samanlainen kuin Goldbachin kolmiosainen ongelma, mutta heikommassa muodossa : jokainen pariton luku on alkuluku tai kolmen alkuluvun summa.

Ternary Goldbach -ongelma

Vuonna 1923 matemaatikot Hardy ja Littlewood osoittivat, että jos jokin yleistys Riemannin hypoteesista pitää paikkansa, Goldbachin ongelma on totta kaikille riittävän suurille parittomille luvuille.

Vuonna 1937 Vinogradov esitti Riemannin hypoteesin pätevyydestä riippumattoman todisteen, eli hän osoitti, että mikä tahansa riittävän suuri pariton luku voidaan esittää kolmen alkuluvun summana. Vinogradov itse ei antanut nimenomaista arviota tälle "riittävän suurelle määrälle", mutta hänen oppilaansa Konstantin Borozdin osoitti, että alaraja ei ylitä 3 3 15 ≈ 3,25 × 10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . Toisin sanoen tämä luku sisältää lähes 7 miljoonaa numeroa, mikä tekee mahdottomaksi tarkistaa suoraan kaikkia pienempiä numeroita.

Myöhemmin Vinogradovin tulosta parannettiin monta kertaa, kunnes vuonna 1989 Wang ja Chen alensivat [2] alarajaa arvoon 1043000,5≈1043000≈ 3,33339 ×11,503ee

Vuonna 1997 Desuiers , Effinger , te Riehl ja Zinoviev osoittivat [3] , että yleistetty Riemannin hypoteesi viittaa Goldbachin kolmiulotteisen ongelman pätevyyteen. He todistivat sen pätevyyden luvuille, jotka ovat suurempia kuin 10 20 , kun taas lauseen pätevyys pienemmille luvuille selviää helposti tietokoneella.

Vuonna 2013 Harald Gelfgott [4] [5] [6] [7] osoitti lopulta kolmiarvoisen Goldbach- oletuksen .

Binary Goldbach -ongelma

Binäärinen Goldbach-ongelma on vielä kaukana ratkaisusta.

Vinogradov vuonna 1937 ja Theodor Estermann vuonna 1938 osoittivat, että lähes kaikki parilliset luvut voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Tätä tulosta paransivat hieman vuonna 1975 Hugh Montgomery ja Bob Vaughan .  He osoittivat, että on olemassa positiivisia vakioita c ja C siten, että niiden parillisten lukujen määrä, jotka eivät ole suurempia kuin N , joita ei voida esittää kahden alkuluvun summana, ei ylitä .  

Vuonna 1930 Shnirelman osoitti, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää enintään 800 000 alkuluvun summana [8] . Tätä tulosta on parannettu monta kertaa, joten vuonna 1995 Olivier Ramaret osoitti, että mikä tahansa parillinen luku on enintään kuuden alkuluvun summa.

Kolmiosaisen Goldbach-oletuksen pätevyydestä (todistettu vuonna 2013) seuraa, että mikä tahansa parillinen luku on enintään neljän alkuluvun summa.

Vuonna 1966 Chen Jingrun osoitti , että mikä tahansa riittävän suuri parillinen luku voidaan esittää joko kahden alkuluvun summana tai alkuluvun ja puoliluvun summana (kahden alkuluvun tulona). Esimerkiksi 100 = 23 + 7 11.

Huhtikuusta 2012 lähtien Goldbachin binäärioletus on testattu [9] kaikille parillisille luvuille, jotka eivät ylitä 4 × 10 18 .

Jos Goldbachin binäärihypoteesi on väärä, on olemassa algoritmi , joka ennemmin tai myöhemmin havaitsee sen rikkomisen.

Binäärinen Goldbach-oletus voidaan muotoilla uudelleen väittämäksi jonkin erikoismuodon 4. asteen diofantiiniyhtälön ratkaisemattomuudesta [10] [11] .

Kulttuurissa

Vuonna 1992 julkaistiin Apostolos Doxiadisin "ideoiden romaani" " Setä Petros ja Goldbachin ongelma " , ja se sai äärimmäisen suosion . Faber ja Faber lupasivat myynninedistämistarkoituksessa miljoona dollaria jokaiselle lukijalle, joka pystyi ratkaisemaan ongelman kahden vuoden kuluessa levityksestä. Romaani käännettiin kymmenille kielille, vuonna 2002 sen venäjänkielinen käännös ilmestyi [12] .

Goldbachin ongelma on tärkeä juonikohta vuoden 2007 elokuvassa Trap Farm ja vuoden 2006 Lewisin pilotti .

Muistiinpanot

  1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Bändi 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125-129 Arkistoitu 1. heinäkuuta 2019 Wayback Machinessa
  2. ↑ JR Chen ja TZ Wang, Oudosta Goldbach-ongelmasta, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Addendum 34 (1991) 143-144.
  3. ↑ Jean-Marc Deshouillers Arkistoitu 25. lokakuuta 2012 Wayback Machinessa , Gove Effinger Arkistoitu 1. lokakuuta 2012 Wayback Machinessa , Herman te Riele Arkistoitu 29. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa , Dmitrii Zinoviev Arkistoitu Wayback Machinessa 29 August 20back1 täydellinen Vinogradovin 3-alkuluvun lause Riemannin hypoteesin mukaisesti, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Voi. 3, s. 99 - 104, 1997.
  4. ↑ Terence Tao - Google+ - Kiireinen päivä analyyttisessä lukuteoriassa; Harald Helfgottilla on…  (englanniksi) . Haettu 10. kesäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 22. maaliskuuta 2017.
  5. ↑ Goldbachin lauseen pääkaaret Arkistoitu 29. heinäkuuta 2013 Wayback Machinessa , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
  6. ↑ Goldbach-variaatiot arkistoitu 16. joulukuuta 2013 Wayback Machinessa // SciAm- blogit, Evelyn Lamb, 15. toukokuuta 2013
  7. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arkistoitu 23. kesäkuuta 2013 Wayback Machinessa // Tiede 24. toukokuuta 2013: Voi. 340 nro. 6135 s. 913 doi: 10.1126/tiede.340.6135.913
  8. ↑ R. Courant, G. Robbins Mitä matematiikka on? Arkistoitu 11. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa  - 3rd ed., rev. ja ylimääräistä — M.: MTSNMO, 2001.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbachin  olettamus Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  10. ↑ Juri Matiyasevitš. Hilbertin kymmenes ongelma: Mitä tehtiin ja mitä on tehtävä Arkistoitu 13. kesäkuuta 2010 Wayback Machinessa .
  11. ↑ Matiyasevitš Yu. V. Hilbertin kymmenes tehtävä . — Nauka, 1993. […] voimme muotoilla Goldbach-oletuksen uudelleen väittämäksi, että diofantiiniyhtälö on ratkaistavissa parametrin kaikkien arvojen suhteen
  12. ↑ Petros-setä ja Goldbach-ongelma ( Arkistoitu 14. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa ) Ozon-verkkosivustolla.

Kirjallisuus

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa
 Hypoteesit alkuluvuista _
Hypoteesit