Joukko suuria trigonometrisiä summia

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. toukokuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Suurten trigonometristen summien joukko on lukuteorian käsite - joukko indeksejä, joissa ryhmän tietyn osajoukon ominaisfunktion Fourier-muunnos saa riittävän suuria arvoja.

Esityksen helpottamiseksi artikkelissa käytetään edelleen lyhennettä MBTS, vaikka se ei ole yleisesti hyväksytty.

Oppimisen esitiedot

Klassisessa trigonometristen summien menetelmässä joudutaan usein estimoimaan ylhäältä summan moduulin arvo jollekin syklisen ryhmän osajoukolle. Jos tällä summalla on pieni moduuli kaikille , niin tästä voidaan tehdä johtopäätöksiä jatkuvien jäännössegmenttien välisen jakautumisen tasaisuudesta modulo . Tämä osoittautuu todeksi esimerkiksi neliötähteiden joukolle [1] (ja tehojäännöksille yleensä [2] ), peräkkäisten lukujen diskreeteille logaritmeille [3] tai (yksinkertaisille ) muodon lausekkeille , joissa on kertolaskujen käänteisalkio ( Kloostermanin summa ) [4] . ${\displaystyle \sum \limits _{x\in X}{e^{\frac {ax}{n))))$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {Z} }_{n))$ $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $X$ $n$ $n$ $a+a^{-1}$ $a^{{-1}}$ ${\mathbb {F} }_{n}$

Luonnollisesti herää kysymys: jos tarkasteltavina olevilla summilla ei ole pientä moduulia kaikille, niin kuinka monelle tämä moduuli voi olla erittäin suuri, ja mille tietyille arvojoukoille tämä voi olla totta? On esimerkiksi selvää, että jos tämä on totta :lle , niin myös :lle , mutta herää kysymys muiden tällaisten yleisten lakien olemassaolosta, jotka eivät riipu joukon luonteesta . $a\not \equiv 0{\pmod {n}}$ $a$ $a$ $a$ $-a$ $X$

Tämä ongelma on saanut laajaa huomiota additiivisessa kombinatoriikassa , jonka ideana on tunnistaa joukkojen rakenteessa olevia malleja minimaalisin rajoituksin, ja siinä käytetään laajasti Fourier-kertoimia.

Määritelmä

MBTS:ää koskevia säännönmukaisuuksia tarkastellaan pääsääntöisesti kahden parametrin perusteella - pääjoukon koon ja rajan, jota pitkin trigonometristen summien arvot erotetaan. Joskus mukavuussyistä trigonometristen summien rajaa ei kirjoiteta eksplisiittisesti, vaan se parametroidaan sen suhteen joukon kokoon (koska summan moduuli ei tietenkään koskaan ole suurempi kuin joukon koko). Tästä sekä Fourier-kertoimien erilaisesta normalisoinnista johtuen lausekkeet eri tekijöiden määritelmien ja lauseiden muotoiluissa voivat poiketa toisistaan, mutta tutkittavien relaatioiden olemus pysyy samana.

Olkoon luonnollinen luku, , $N$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|A|=\delta N$

Merkitään myös ominaisfunktion th Fourier-kerrointa (ei normalisoitu) . ${\widehat {A}}(\xi )=\sum \limits _{x\in A}{e^{2\pi {\frac {\xi x}{N}}i}}$ $\xi$ $A$

Sitten suurten trigonometristen summien joukot parametrin kanssa määritellään (parametriin ) asti $\alpha$

{\mathcal {R}}_{\alpha }={\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=\left\lbrace {\xi :|{\widehat {A}}(\ xi )|\geq \alpha N}\right\rbrace

[5]

Jotkut tutkimusmenetelmät

Funktion likiarvo joukolla

Esimerkkejä joukoista, joilla on tietyt ominaisuudet omaava MBTS, rakennetaan usein funktioita, joilla on vastaavat Fourier-kertoimet, ja sitten tämän perusteella todetaan sellaisten joukkojen olemassaolo, joiden Fourier-kertoimet eivät juurikaan poikkea näiden funktioiden kertoimista [6] [7] [8] . Perusteet tälle antaa seuraava lemma, jonka todisteena on yleinen lineaarialgebrallinen ajatus ja se ylittää MBTS-tieteen piirin.

Jos , niin on olemassa joukko sellaisia kokoja , että [9] $f:{\mathbb {Z} }_{N}\to [0;1]$ ${\displaystyle S\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\left\lfloor {\sum \limits _{x}{f(x)))\right\rfloor$ $\forall r\in {\mathbb {Z} }_{N}:|{\widehat {S}}(r)-{\widehat {f}}(r)|\leq 20{\sqrt { N}}$

Fourier-kertoimien suodatus

Yleisten lausuntojen johtamiseksi joidenkin joukkojen MBTS:stä on kätevää käyttää [10] [11] joukon indikaattorifunktiosta muodostettuja funktioita suodattamalla Fourier-kertoimet tämän MBTS:n suhteen, eli sellaista funktiota , $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}{\widehat {1_{A}}}(\xi )&\xi \in {\mathcal {R}}_{\ alfa }(A)\\0&\xi \not \in {\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\end{cases}}

Osoittautuu, että tällaisille funktioille suurin osa arvojen summasta on myös keskittynyt . $A$

Ominaisuudet

Koko

Tasa -arvosta se on helppo saada. mitä . $\sum \limits _{\xi }{|{\widehat {A}}(\xi )|^{2}}=|A|^{2}$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|<{\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

Joillekin arvoille tämä arvio on melko tarkka kasvujärjestyksen suhteen . $\delta ,\alpha$

Esimerkki on neliölliset jäännökset

Jos on joukko neliöllisiä jäännöksiä modulo , , niin , estimaatti muuttuu epäyhtälöksi lähellä . ${\displaystyle Q_{p}\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $s$ $\delta ={\frac {p+1}{2p)),\ \alpha \noin {\frac {1}{2{\sqrt {p))))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|=p$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(Q_{p})|<2(p+1)$

Tämä ajatus voidaan muodon konstruktion avulla yleistää MBTS:ksi, jossa on alaraja suhteessa moduuliin summan arvolla. Samanaikaisesti MBTS:n arvion ja todellisen koon välille muodostuu sama ero. ${\displaystyle \bigcup \limits _{s=0}^{k-1}{(sp+Q_{p})}\subset {\mathbb {Z} }_{kp))$

Esimerkkinä ovat peräkkäiset numerot

Esimerkissä, jossa on neliöllinen jäännös, arvo on lähellä kiinteää. Esimerkkejä mielivaltaisen arvon löytämiseksi riittää, kun tarkastellaan joukkoa , jossa . $\delta ={\frac {p+1}{2p}}\noin {\frac {1}{2}}$ $\delta$ ${\displaystyle A=\{1,2,\dots ,m\}\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $m\ll N$

Sitten (eli vektorien suuntaa vastaavia on rajoitettu melko kapealla kulmalla) ja siksi , niin että alaraja on tosi . Lisäksi koska , se on jopa totta $\forall \xi <{\frac {N}{4m}}\forall a\in A:\ \arg \left({e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}} i}}\oikea)<{\frac {\pi }{2}}$ ${\displaystyle e^{2\pi {\frac {\xi a}{N}}i))$ $\forall \xi <{\frac {N}{4m)):|{\widehat {A}}(\xi )|\gg {\frac {m}{2}}$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{4m}}\right\rfloor$ $|{\widehat {A}}(\xi )|=|{\widehat {A}}(-\xi )|$ $|{\mathcal {R}}_{\frac {m}{2N}}(A)|\geq \left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor$

Kuitenkin , ylempi arvio muuttuu epätasa-arvo . $\delta ={\frac {m}{N)),\ \alpha ={\frac {m}{2N))$ $|{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{m}}$

Osoittautuu, että ylempi estimaatti on myös tarkka vakiolla kertomiseen asti. $\left\lfloor {\frac {N}{2m}}\right\rfloor \leq |{\mathcal {R}}_{\alpha }(A)|\leq 4{\frac {N}{ m}}$

Rakenne

MBTS:n rakenteellisuus eri aisteissa voidaan arvioida varsin tarkasti, kun ne ovat riittävän suuria. Jos ne ovat pieniä, MBTS voi olla melko mielivaltainen.

Lisäenergia

Toisaalta MBTS:t sallivat alemman arvion minkä tahansa osajoukonsa additiiviselle energialle .

Jos , niin [11] $B\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }$ ${\displaystyle T_{k}(B)\gg _{k}{\frac {\alpha ^{2k)){\delta ^{2k-1))}|B|^{2k))$

Todistusidean lyhyt kuvaus

Riittää, kun estimoidaan muotoisten joukkojen energia samalla tavalla ja summataan tulokset arvoihin $B'\subset {\mathcal {R}}_{\alpha }\setminus {\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $\alpha ,2\alpha ,4\alpha ,\dots$

Funktiota käytetään energian arvioimiseen . jonka Fourier-kertoimet ovat kertoimet, jotka on suodatettu . Koska yleisistä syistä tällaisen funktion arvot ovat hyvin kyllästyneitä :ssä , riittää Hölderin epäyhtälöiden sarjan ja konvoluutiooperaatioiden avulla arvioida tämä kylläisyys konstruktion ja tietyn tekijän mukaan riippuen (ts . , päällä ). Rakenne , joka johtuu vähennyksestä ( eli ylhäältä estimaatin ehdosta ), estimoidaan ylhäältä lisäenergian arvon kautta (jollakin lisäkertoimella). $B'$ ${\näyttötyyli 1_{A}}$ $B'$ $A$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (fi)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ $|A|$ $\delta$ $\sum \limits _{u}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{r}({\widehat {f))(r){\overline {{\widehat {f)) (fi)}}}}{\Bigg \vert }}^{2}}$ ${\mathcal {R}}_{2\alpha }$ $B'$ ${\widehat {f}}(\xi )$

Toisaalta joissakin lisäolosuhteissa (ei liian vahvoilla) parametreilla on olemassa joukko , jolle yläraja on myös tosi , lisäksi [12] . Tämä viittaa siihen, että joskus MBTS voi silti olla melko suuri ja rakenteeton samaan aikaan. $k,\alpha ,\delta$ $A$ ${\displaystyle T_{k}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll _{k}{\frac {\delta }{\alpha ^{2k))))$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{\alpha }|\gg {\frac {\delta }{\alpha ^{2))))$

Design

Rakentamiseen käytetään sarjaa , jolla on erityisesti parannettu dissosiaatioominaisuus. $\lambda$

Itse joukko määritellään erilaisten aritmeettisten progressioiden siirtymien yhtymäksi erojen kanssa , ja siirtymät valitaan tällä tavalla. niin, että jokainen joukkoon lisätty uusi eteneminen leikkaa mahdollisimman vähän jo muodostetun joukon kanssa. $A$ $|\Lambda |$ $\lambda \in \Lambda$

Tällaisen joukon MBTS sisältää saman määrän muita aritmeettisia progressioita (mikä antaa mahdollisuuden puhua sen suuresta koosta) ja samaan aikaan itse sisältyy samojen aritmeettisten progressioiden liittoon, vain laajemmin molemmissa. suuntiin (ja tämän avulla voimme päätellä yleisistä kombinatorisista näkökohdista, että sen additiivinen energia ei ole suuri).

Siinä tapauksessa, kun on suurin mahdollinen koko, nämä arviot (jos ensimmäinen otetaan huomioon ) osuvat vakioon riippuen . Toisin sanoen melko laajalle parametriarvojen luokalle on joukkoja, joiden MBTS-rakennemitta määräytyy lähes yksiselitteisesti, ja niiden MBTS:t osoittautuvat sitä enemmän jäsenneltymmiksi, mitä enemmän ne sisältävät elementtejä (mitä suurempi ero välillä ja ). ${\mathcal {R}}_{\alpha }$ $B={\mathcal {R}}_{\alpha }$ $k$ $\delta ,\alpha$ $\delta$ $\alpha$

Additiivinen ulottuvuus

Toinen tutkittava ominaisuus on MBTS:n additiivinen ulottuvuus, eli sen sisältämän dissosiatiivisen maksimijoukon koko . Lisäksi tämä arvo on merkitty . $\dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })$

Chang osoitti vuonna 2002, että [13] [14] . Todistuksen perustana oli Rudinin epäyhtälön soveltaminen joukon indikaattorifunktiosta muodostettuun funktioon suodattamalla Fourier-kertoimet [10] mukaisesti . ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\ll {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }$

Samaan aikaan Green osoitti vuonna 2003, että olosuhteissa

$\delta \leq {\frac {1}{8}}$

$\alpha \leq {\frac {\delta }{32))$

${\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)}\leq {\frac {\log N}{\log \log N))$

on joukko , jolle [15] [7] . $A$ ${\displaystyle \dim _{+}({\mathcal {R}}_{\alpha })\gg {\left({\frac {\delta }{\alpha }}\right)}^{2}\ log {\left({\frac {1}{\delta }}\right)))$

Eli riittävän suuria summien arvoja ajatellen voidaan myös MBTS:n additiivinen ulottuvuus arvioida varsin tarkasti.

Mielivalta

Jos MBTS on riittävän pieni verrattuna sen maksimikokoon, niin kokonaisarvio additiiviselle energialle osoittautuu triviaaliksi, eli se ei anna meidän sanoa mitään joukon sisäisestä rakenteesta.

Osoittautuu, että tässä tapauksessa siitä ei voida sanoa mitään - eli mielivaltainen joukko voi olla pieni MBTS.

Lause (Shkredov)

Jos

$\delta <{\frac {1}{2}}$

$20{\frac {1}{\sqrt {N}}}<\alpha \leq {\frac {\delta }{2}}$

$|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

$S=-S$

sitten [ 6] $\exists A:\ |A|=\left\lfloor {\delta N}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)=S$

Todistusidean lyhyt kuvaus

Riittää, kun harkitaan sellaista toimintoa $f$

{\widehat {f}}(\xi )={\begin{cases}\delta &\xi =0\\2\alpha &\xi \in S\setminus \{0\}\\0&\ xi \not \in S\end{cases}}

ja soveltaa lemmaa sen Fourier-kertoimien approksimaatioon joukon indikaattorifunktion Fourier-kertoimien suhteen.

Päärajoitus tässä on , että loput johtuvat trigonometristen summien yleisestä luonteesta. $|S|\leq {\frac {\delta }{2\alpha }}$

Kokorajoitusta voidaan lieventää lisäämällä ehto, että sillä on jokin ominaisuus, joka on dissosiatiivisuuden variaatio [16] . $|S|\leq {\frac {\delta }{\alpha }}\log {\frac {1}{\delta }}$ $S$

Eri joukkojen MBTS:n välinen suhde

Kokojoukkojen MBTS:t (puolet ryhmän koosta) kattavat tietyssä mielessä kaikkien muiden MBTS:ien rakenteen. $\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$

Lause (vihreä)

Jos , niin jollekin on olemassa sellainen, että ja [8] ${\displaystyle \alpha \geq 80{\frac {1}{\sqrt {N))))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ ${\displaystyle B\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $|B|=\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor$ ${\mathcal {R}}_{\alpha }(A)\subset {\mathcal {R}}_{\frac {\alpha }{4}}(B)$

Yleistykset

MBTS:ää voidaan tutkia ei vain syklisille, vaan myös mille tahansa ryhmälle, jos Fourier-kertoimen käsite on oikein yleistetty [17] .

Esimerkiksi mille tahansa ja sen joukolle -MBTS sisältää koon alaryhmän (viimeinen lauseke tarkoittaa tetratiota ) [18] . $\alpha <{\frac {1}{2))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n))$ $\alpha$ ${}^{\left({\frac {1}{\alpha ^{3))}\right)}2$

Sovellukset

Chang sovelsi rajoja MBTS:n additiiviselle ulottuvuudelle parantaakseen rajoja Freimanin lauseessa [14] .

Kirjallisuus

B. I. Segal. Trigonometriset summat ja jotkin niiden sovellukset lukuteoriaan // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1946. - Numero. 3-4 (13-14) . - S. 147-193 . (Venäjän kieli)

M. A. Korolev. Kloostermanin lyhyiden summien estimointimenetelmät // Chebyshevskii sbornik. - 2016. - T. 17 , nro 4 . - S. 79-109 . (Venäjän kieli)

I. D. Shkredov. Esimerkkejä suurten trigonometristen summien joukoista // Matemaattinen kokoelma. - 2007. - T. 198 , no. 12 . - S. 105-140 . (Venäjän kieli)

I. D. Shkredov. Suurten trigonometristen summien sarjoista // Izvestiya RAN, Mathematics Series. - 2008. - T. 72 , no. 1 . - S. 161-182 . (Venäjän kieli)

Mei-Chu Chang. Freimanin lauseeseen sidottu polynomi // Duke Mathematical Journal. - 2002. - Voi. 113 , iss. 3 . - s. 399-419 .

Ben Green. Jotkut konstruktit syklisten ryhmien käänteisspektriteoriassa // Kombinatoriikka, todennäköisyys ja laskenta. - 2003. - Voi. 12 , iss. 2 . - s. 127-138 .

Ben Green. Szemerédi-tyyppinen säännönmukaisuuslemma Abelin ryhmissä, sovelluksilla (englanniksi) // Geometric & Functional Analysis GAFA. - 2005. - Voi. 15 , iss. 2 . — s. 340-376 .

Muistiinpanot

↑ Segal, 1946 , s. 151.
↑ Segal, 1946 , s. 159-160.
↑ Segal, 1946 , s. 163.
↑ Korolev, 2016 , s. 81-82.
↑ Shkredov, 2008 , s. 161.
↑ 1 2 Shkredov, 2007 , s. 109, kohta 2.1.
↑ 1 2 Green, 2003 , s. 131-133, Lemmat 3.2, 3.3.
↑ 1 2 Green, 2003 , s. 129, Lemma 2.3.
↑ Green, 2003 , s. 129, Lemma 2.2.
↑ 1 2 Changin työn esiprintti Arkistoitu 1. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa , s. 17, Lemma 3.1
↑ 1 2 Shkredov, 2008 , s. 163, lause 5.
↑ Shkredov, 2007 , s. 118, Lause 2.11.
↑ Shkredov, 2008 , s. 162, Lause 1 (ei todistetta).
↑ 1 2 Chang, 2002 .
↑ Shkredov, 2008 , s. 162, Lause 4 (ei todistetta).
↑ Shkredov, 2007 , s. 112, ehdotus 2.9.
↑ Shkredov, 2007 , s. 108.
↑ Green, 2005 , s. 345, lause 2.1.