Moraalinen odotus

Moraalinen odotus on arvio erästä, jonka esitteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Daniel Bernoulli . Toisin kuin matemaattinen odotus ( odotettu tuotto ), moraalinen odotus riippuu pelaajan tilasta ja ottaa implisiittisesti huomioon riskitekijän. Itse termi "moraalinen odotus" kuuluu ranskalaiselle matemaatikolle Pierre Simon Laplacelle .

Määritelmä

Olkoon jossain pelissä voittoarvo arvot todennäköisyyksien kanssa , missä , C on pelaajan tila ennen pelin alkua. Sitten moraalinen odotus määritellään tasa-arvolla: $x_i$ $p_{i}$ $i=1,2,...,n$

Mr(x,C)={\bar {\bar x}}=\tuote _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{{p_{i}}}-C .

Nimeämme moraalista odotusta tai milloin haluamme korostaa sen riippuvuutta valtiosta. ${\bar {\bar x))$ $herra(x,C)$

Ominaisuudet

Moraalinen odotus kasvaa tiukasti monotonisesti valtion C arvon kasvaessa. $herra(x,C)$
Kun tila C pyrkii äärettömyyteen, moraalisen odotuksen raja on yhtä suuri kuin matemaattinen odotus:

\lim _{{C\to +\infty }}Mr(x,C)=M(x).

Moraalinen odotus on tiukasti pienempi kuin matemaattinen: . $herra(x,C)<M(x)$
$Mr(x+a,C)=Mr(x,C+a)+a$ , jossa a on mielivaltainen reaalivakio.
$herra(a*x,C)=a*herra(x,{\frac Ca})$ , jossa a on mielivaltainen positiivinen reaalivakio.
$\lim _{{k\to +\infty }}k*Mr({\frac xk},C)=M(x)$ , jossa k on luonnollinen luku.

Tässä on satunnaismuuttujan matemaattinen odotus . $M(x)=\summa _{{i=1}}^{n}p_{i}*x_{i}$ $x$

Perustiedot

Pelaaja ei aina arvioi arpaa matemaattisten odotusten mukaan, eli hän ei aina arvioi sitä keskimääräiseksi voitoksi. Muuten vakuutusyhtiöt olisivat olleet työttömänä pitkään. Riskivakuutusongelmissa vakuutusmaksun määrä ylittääkin odotetun vahingon. Tarkastellaanpa esimerkkiä:
Saat paljon, joka voi samalla todennäköisyydellä tuoda 40 tuhatta euroa tuloja tai ei mitään. Matemaattisten odotusten mukaan tämän erän arvo on 20 tuhatta. Monet suostuvat kuitenkin myymään sen 18 tuhannella. Jälkimmäinen tarkoittaa, että nämä ihmiset arvioivat erän alle 18 tuhatta. Mutta on niitä, jotka haluavat ostaa tämän erän yli 18 tuhannella. Ostajat siis arvostavat tontin yli 18 000. Voidaan myös olettaa, että tontin ostajat ovat rikkaampia kuin myyjät.

Bernoulli ehdotti, että tilan C alkeislisäys antaa lisäyksen tilan Z hyödyllisyyteen määrällä, joka on verrannollinen tähän lisäykseen ja kääntäen verrannollinen tilan arvoon:

$dZ=k*{\frac {dC}C}$ , missä . Tämä tuottaa suoraan rahan logaritmisen hyödyllisyysfunktion . Silloin matemaattinen hyödyllisyysodotus saa muotoa: , josta saadaan moraalisen odotuksen määräävä tasa-arvo. Bernoulli julkaisi tulokset vuonna 1738 artikkelissa "An Experience of a New Theory of Lot Measurement". Näin ollen Bernoulli rakensi hyödyllisyysfunktion sellaiselle hyödykkeelle kuin raha, kauan ennen kuin Jeremy Bentham esitteli hyödyn käsitteen talousteoriassa . Erän arviointi moraalisilla odotuksilla mahdollistaa usein todellisten taloudellisten yksiköiden käyttäytymiseen sopivien matemaattisten mallien rakentamisen. $k>0$ $Z=ln(C)$ $\ln {({\bar {\bar x}}+C)}=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*\ln {(x_{i}+C)}$

Esimerkki

Nicholas Bernoullia pidetään ongelman tekijänä .

Kauppias Caius osti Amsterdamista tavaraa, jonka hän saattoi myydä Pietarissa 10 000 ruplalla. Tavarat lähetetään Pietariin meritse. Tiedetään, että tähän aikaan vuodesta 100 aluksesta 5 on haaksirikkoutunut. Kauppias ei löytänyt ketään, joka suostuisi vakuuttamaan lastin alle 800 ruplaan. Suostuessaan vakuuttamaan lastin ehdotetuin ehdoin, kauppias muuttaa eräänsä taatulla 9 200 ruplalla. Moraalisten odotusten perusteella ehdotetaan, että vastataan seuraaviin kysymyksiin:

Minkä ehdon tulee olla kauppiaalla (erän myyjällä), jotta hän suostuisi vakuuttamaan tavaransa ehdotetuilla ehdoilla?
Missä tilassa lastin vakuuttamiseen sitoutuneen henkilön (erien ostajan) tulee olla?

Matemaattinen tuloodotus tässä tehtävässä on 9500 ruplaa. Ja mikä muuttuu, jos kauppias jakaa lastin tasaisesti kahdelle laivalle. Erän matemaattinen odotus on edelleen 9500. Mutta intuitiivisesti koemme, että tällainen erä maksaa enemmän. Ja todellakin käy ilmi, että erän arviointi moraalisten odotusten mukaan kasvaa merkittävästi.

Moraalisen odotuksen käsitteen yleistäminen

Luonnollisesti syntyy yleistys tapaukseen, jossa tilan alkeislisäys lisää tilan hyödyllisyyttä arvolla, joka on kääntäen verrannollinen johonkin tilan asteeseen. Sitten päästään muotoon rahan hyötyfunktioiden luokkaan , jossa . Tässä tapauksessa tapaus vastaa klassista hyötyfunktiota, eli ylöspäin kasvavaa ja kuperaa, ja tapaus vastaa Friedmann -funktion alaspäin kuperan osia . Sitten yleinen moraalinen odotus voidaan määritellä seuraavasti. Satunnaismuuttujan x kertaluvun s moraalista odotusta tilassa C kutsutaan suureksi . Huomaa, että Moraalinen odotus voidaan yleistää myös tapaukseen, jossa satunnaismuuttujalla on jatkuva jakauma. $f(C)=C^{s}$ $s\in {(0;+\infty ]}$ $s\in {(0;1)}$ $s\in {(1;+\infty ]}$ $herra^{{(s)}}(x,C)={\bar {\bar x}}=(\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*(x_{i} +C)^{s})^{{{\frac 1s}}}-C.$ $\lim _{{s\to 0}}Mr^{{(s)}}(x,C)=\prod _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{ {kuva.$

Kirjallisuus

Bernoulli D. Kokemus uudesta erämittauksen teoriasta//Kuluttajien käyttäytymisen ja kysynnän teoria. - Pietari. : Kauppakorkeakoulu, 1993. - 380 s. - 25 000 kappaletta. - ISBN 5-900428-02-8 .
Bely E.K., Belaya M.E. Rahan hyödyllisyyden teoria. Arvopaperisalkun monipuolistaminen ja muut tehtävät tulojen arvioinnilla moraalisten odotusten perusteella. - Saarbrucken, Saksa: LAB LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 84 s. - ISBN 978-3-8484-2665-2 .
Bely E. K. Moraaliset odotukset ja arvopaperisalkun hajauttaminen / / Uchen. sovellus. Petroskoin osavaltio. yliopisto Ser. Yhteiskunta- ja humanistitieteet. nro 1 (106). - Petroskoi: PetrGU, 2010. - 500 kopiota.