Päällyste

Peite on polkuun kytketyn avaruuden jatkuva surjektiivinen kartoitus polkuun yhdistettyyn avaruuteen siten, että millä tahansa pisteellä on lähialue , jonka täydellinen käänteiskuva on pareittain hajautettujen alueiden liitto : $p:X\Y:lle$ $X$ $Y$ $y\in Y$ $U\alajoukko Y$ $p^{{-1}}(U)$ $V_{k}\alajoukko X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\kuppi V_{2}\kuppi \pisteet

Lisäksi jokaisessa verkkotunnuksessa kartoitus on homeomorfismi välillä ja . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\to U$ $V_{k}$ $U$

Muodollinen määritelmä

Polulla yhdistetyn avaruuden kartoittamista polkuun yhdistettyyn avaruuteen kutsutaan peitteeksi , jos jollakin pisteellä on lähialue , jolle on olemassa homeomorfismi , jossa on diskreetti avaruus siten, että jos tarkoittaa luonnollista projektiota, niin $p:X\Y:lle$ $X$ $Y$ $y\in Y$ $U\alajoukko Y$ $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$ $\Gamma$ $\pi:U\times \Gamma\to U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Tilaa kutsutaan peitteen pohjaksi ja peitteen tilaa ( tai peitetilaa ) . $Y$ $X$
Pisteen käänteiskuvaa kutsutaan kerrokseksi pisteen päällä . $p^{{-1}}(y)$ $y\in Y$ $y$
Koko esikuvan alueiden lukumäärää kutsutaan arkkien lukumääräksi . $V_{k}$ $p^{{-1}}(U)$
- Jos tämä luku on äärellinen ja yhtä suuri kuin , peittoa kutsutaan
-sheeted . $n$ $n$

Kanta kutsutaan universaaliksi , jos jollekin muulle kannelle on olemassa sellainen kansi , että .

p\colon {\tilde {Y}}\to Y

q\colon X\to Y

s\colon {\tilde {Y}}\to X

p=q\circ s

Esimerkkejä

Antaa tarkoittaa kompleksisen tason yksikköympyrää . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\S^{1}$ , , missä , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\in {{\mathbb Z}}$

Ominaisuudet

Päällysteet ovat paikallisia homeomorfismeja
Kannet ovat paikallisesti vähäpätöisten nippujen erikoistapaus . Niitä voidaan pitää paikallisesti triviaaleina kuituina, joissa on erillinen kuitu.
Kaikki kaksoispäällysteet ovat säännöllisiä.
Yleispäällyste on säännöllinen.

Yhteys perusryhmään

Peitettä tarkastellaan yleensä olettaen, että u on yhdistetty ja myös paikallisesti yksinkertaisesti kytketty . Näillä oletuksilla muodostetaan yhteys perusryhmien ja : jos , niin indusoitu homomorfismi kartoittaa isomorfisesti alaryhmään ja muuttamalla pistettä kohdassa , voidaan saada täsmälleen kaikki alaryhmät jostakin konjugaattialaryhmien luokasta. $X$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Jos tämä luokka koostuu yhdestä alaryhmästä ( eli normaalijakajasta ), peittoa kutsutaan säännölliseksi . Tässä tapauksessa syntyy ryhmän vapaa toiminta , ja se osoittautuu kiertoradan avaruuteen kartoittavaksi tekijäksi . Yleensä diskreettien ryhmien vapaat toiminnot ovat tavallinen säännöllisten peittojen lähde (ratatilan yli, vaikka jokainen tällainen toiminta ei määrittele peittoa, kiertorata-avaruus voi osoittautua erottamattomaksi), mutta tämä pätee äärellisiin ryhmiin. Tämä toiminto luodaan nostamalla silmukoita: jos silmukka , , liittyy ainutlaatuiseen polkuun , jolle ja , piste riippuu vain tämän silmukan luokasta ja pisteestä . Siten elementti kohteesta vastaa pisteiden permutaatiota . Tällä permutaatiolla ei ole kiinteitä pisteitä, ja se riippuu jatkuvasti pisteestä . Tämä määrittelee homeomorfismin , joka liikkuu kanssa . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $X$ $s$ $Y$ $q:[0,1]\-Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\-X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q}(1)$ $G$ $x_{0}$ $G$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $X$ $s$

Yleisessä tapauksessa tämä konstruktio määrittelee vain permutaatiossa , eli on toiminto , jota kutsutaan peitteen monodromiaksi . Tavallisen kannen erikoistapaus on yleiskansi , johon tai vastaavasti X on yksinkertaisesti kytketty. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$

Yleensä jokaiselle ryhmälle rakennetaan yksilöllisesti peite , jolle on olemassa kuva . $H\alajoukko \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\Y:lle$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

Kaikille polulla yhdistetyn tilan kartoituksille nostaminen kartoitukseen on olemassa, jos ja vain, jos kuva sijaitsee . Päällysten välillä on osittainen järjestyssuhde ( peitteen peite on peite), mikä on kaksinkertainen alaryhmien sisällyttämiseen ryhmään . Erityisesti yleispäällyste on ainoa maksimaalinen elementti. $f$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Kirjallisuus

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovich VA Visuaalinen topologia . - M .: Nauka, 1982. - (Kvanttikirjasto, numero 21).