Epälineaarinen Schrödingerin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Epälineaarinen eli kuutioinen Schrödingerin yhtälö ( NLS ) on toisen asteen epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö , jolla on tärkeä rooli epälineaaristen aaltojen teoriassa , erityisesti epälineaarisessa optiikassa ja plasmafysiikassa .

Yhtälö näyttää tältä: [1]

i{\frac {\partial u}{\partial t))+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+\nu |u|^{2}u= 0

missä on kompleksiarvoinen funktio . $u(x, t)$

Merkitys fysiikassa

Epälineaarinen Schrödingerin yhtälö kuvaa aaltopaketin verhokäyrää väliaineessa, jossa on dispersio ja kuutioepälineaarisuus . Samanlainen tilanne esiintyy esimerkiksi sähkömagneettisten aaltojen leviämisessä plasmassa : toisaalta plasma on dispersiivinen väliaine ; toisaalta riittävän korkeilla aallon amplitudeilla ilmaantuu ponderomotorista epälineaarisuutta , joka voidaan joissain tapauksissa approksimoida kuutiotermillä. Toinen esimerkki on valon eteneminen epälineaarisissa kiteissä dispersion kanssa : monissa tapauksissa neliöllinen epälineaarisuus on pieni tai identtisesti nolla johtuen kidehilan keskussymmetriasta , joten vain kuutiotermi otetaan huomioon.

Päätökset

Epälineaariselle Schrödingerin yhtälölle on löydetty suuri määrä tarkkoja ratkaisuja, jotka ovat stationaarisia epälineaarisia aaltoja. Erityisesti ratkaisut ovat muodon toimintoja

u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)

missä r , s , U ovat vakioita, jotka liittyvät suhteisiin:

r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alpha

ja funktio täyttää muodon tavallisen differentiaaliyhtälön $v(q)$

{\frac {d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0

missä . Tämän yhtälön jaksolliset ratkaisut ovat konoidaaltojen muodossa . Lisäksi on olemassa solitonityyppinen paikallinen ratkaisu : $\alpha =r^{2}-s$

v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\operaattorinimi {ch} \left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]} }

Siten parametri määrittää aaltojen amplitudin ja parametri U määrittää niiden nopeuden . On mielenkiintoista, että epälineaarisen yhtälön solitoniratkaisut ovat kvalitatiivisesti yhteneväisiä toisen tärkeän epälineaarisen yhtälön, Korteweg-de Vries (KdV) -yhtälön solitoniratkaisujen kanssa, mutta eroavat ensinnäkin siinä, että solitonien amplitudi ja nopeus ovat riippumattomia NSE:ssä. , kun taas KdV:ssä ne liittyvät toisiinsa, ja toiseksi se, että NLS:ssä lokalisoidut ratkaisut ovat verhokäyräsolitoneja, kun taas KdV:ssä ne ovat todellisia solitoneja. $\alpha$

Solitoniratkaisut ovat erityisen tärkeitä, koska kohdassa , epälineaarisen Schrödingerin yhtälön stationaariset ratkaisut ovat epävakaita ja hajoavat moniksi solitoneiksi. Kun funktion alkujakauma on mielivaltainen, ratkaisu voidaan löytää käänteissirontaongelman menetelmällä . $\nu>0$ $u(x, t)$

Integraalit

Epälineaarinen Schrödingerin yhtälö on täysin integroitavissa ja sillä on rajoittamaton joukko liikeintegraaleja . Seuraavat integraalit ovat esimerkkejä:

I_{1}=\int |u|^{2}dx

I_{2}=\int {\frac {i}{2}}\left(\overline {u}{\frac {\partial u}{\partial x}}-u{\frac {\partial \overline { u}}{\partial x}}\right)dx

I_{3}=\int \left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x))\right|^{2}+\kappa |u|^{4}\right)dx

jossa yläpalkki tarkoittaa kompleksikonjugaatin ottamista .

Kirjallisuus

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Integroitavat järjestelmät. I. - Dynaamiset järjestelmät - 4, Itogi Nauki ja Tekhniki. - M .: VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Nykyajan matematiikan ongelmat. Perussuunnat).
Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitajevski L.P. Solitonien teoria: käänteisongelmamenetelmä. - 1980. - 319 s.
Epälineaarinen Schrödingerin yhtälö - Encyclopedia of Physics -artikkeli

Muistiinpanot

↑ J. Whitham. Lineaariset ja epälineaariset aallot . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 s.