Bogomolov-Miaoki-Yau epätasa-arvo

Bogomolov-Miaoki-Yaun epätasa-arvo on epätasa-arvo

{\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2))

yleismuotoisten kompaktien kompleksisten pintojen Zhen -lukujen välillä . Suurin kiinnostus tässä epäyhtälössä on mahdollisuus rajoittaa tarkasteltavana olevan todellisen 4-monijoukon mahdollisia topologisia tyyppejä. Yau [1] [2] ja Miaoki [3] osoittivat eriarvoisuuden itsenäisesti , kun Van de Ven [4] ja Fedor Bogomolov [5] osoittivat epäyhtälöstä heikommat versiot vakioilla 8 ja 4 vakioilla 3.

Borel ja Hirzebruch osoittivat, että epätasa-arvoa ei voida parantaa löytämällä äärettömän monta tapausta, joissa tasa-arvo pätee. Epäyhtälö ei pidä paikkaansa positiivisille ominaisuuksille - Leng [6] ja Easton [7] antoivat esimerkkejä pinnoista, joilla on ominaisuus p , kuten yleistetty Raynaud-pinta , joille epäyhtälö ei päde.

Väite epätasa-arvosta

Bogomolov-Miaoki-Yau epäyhtälö muotoillaan yleensä seuraavasti.

Olkoon X yleisen tyypin kompakti kompleksipinta ja olkoon ja pinnan kompleksisen tangenttikipun ensimmäinen ja toinen Zhen-luokka Sitten $c_{1}=c_{1}(X)$ $c_{2}=c_{2}(X)$

c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.

Lisäksi, jos yhtäläisyys pätee, niin X on pallon tekijä. Viimeinen väite on seurausta Yaun lähestymistavasta differentiaaligeometriaan, joka perustuu hänen ratkaisuunsa Calabi-oletuksesta .

Koska on Eulerin topologinen ominaisuus ja Thom-Hirzebruchin allekirjoituslauseen avulla, missä on leikkausmuodon allekirjoitus toisessa kohomologiassa, Bogomolov-Miaoki-Yau-epäyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen topologisen tyypin rajoitukseksi. yleinen pinta: $c_{2}(X)=e(X)$ $c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$ $\sigma (X)$

\sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),

ja lisäksi, jos , yleiskansi on pallo. $\sigma (X)=(1/3)e(X)$

Yhdessä Noether-epäyhtälön kanssa Bogomolov-Miaoki-Yau-epäyhtälö asettaa rajat monimutkaisten pintojen etsimiseen. Monimutkaisina pinnoina toteutettavissa olevien topologisten tyyppien tarkastelua kutsutaan pintageografiaksi . Katso artikkeli Generic Surfaces .

Pinnat, joissa c 1 2 = 3 c 2

Olkoon X yleistyyppinen pinta, jossa on , jotta Bogomolov-Miaoki-Yau epäyhtälö on yhtä suuri. Tällaisille pinnoille Yau [1] osoitti, että X on isomorfinen yksikköpallokertoimen kanssa äärettömällä diskreetillä ryhmällä. On vaikea löytää esimerkkejä pinnoista, joilla tasa-arvo pätee. Borel [8] osoitti, että on äärettömän monia arvoja , joille on olemassa pintoja. Mumford [9] löysi väärän projektiivitason :lla , jolla on pienin mahdollinen arvo, koska se on aina jaollinen 12:lla, kun taas Prasad ja Yen [10] [11] sekä Cartwright ja Steger [12] osoittivat, että vääriä projektiivisia on tasan 50 pinnat. ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2))$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9$ ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2))$

Barthel, Hirzebruch ja Höfer [13] antoivat esimerkin hakumenetelmästä, joka tuottaa erityisesti pinnat X , jossa on . Ishida [14] löysi tällaisen pinnan tekijän c, ja jos otetaan tämän tekijän haarautumattomat peitteet, saadaan esimerkkejä c :stä mille tahansa positiiviselle k :lle . Cartwright ja Steger [12] löysivät esimerkkejä mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle n . ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4))$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9n$

Muistiinpanot

↑ 12 Yau , 1977 .
↑ Yau, 1978 .
↑ Miyaoka, 1977 .
↑ Van de Ven, 1966 .
↑ Bogomolov, 1978 .
↑ Lang, 1983 .
↑ Eastton, 2008 .
↑ Borel, 1963 .
↑ Mumford, 1979 .
↑ Prasad, Yeung, 2007 .
↑ Prasad, Yeung, 2010 .
↑ 1 2 Cartwright, Steger, 2010 , s. 11–13.
↑ Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987 .
↑ Ishida, 1988 .

Kirjallisuus

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Luettelo 50 väärennetystä projektiivitasosta // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Luettelo 50 väärennetystä projektiivitasosta // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . - S. 11-13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompaktit monimutkaiset pinnat. - Springer-Verlag, Berliini, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Gottfried Barthel, Friedrich Hirzebruch , Thomas Höfer. Geradenkofigurationen und Algebraische Flächen. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1987. - (Aspects of Mathematics, D4). — ISBN 978-3-528-08907-8 .
Fedor A. Bogomolov. Holomorfiset tensorit ja vektoriniput projektiivisilla monistimella // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Mathematicheskaya. - 1978. - T. 42 , no. 6 . - S. 1227-1287 . — ISSN 0373-2436 .
Armand Borel . Kompaktit Clifford-Klein-muodot symmetrisistä tiloista // Topologia. kansainvälinen matematiikan lehti . - 1963. - Osa 2 , no. 1-2 . — S. 111–122 . — ISSN 0040-9383 . - doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Luettelo 50 väärennetystä projektiivitasosta. Comptes Rendus Mathematics. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348. - S. 11-13. - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Robert W. Easton. Pinnat, jotka loukkaavat Bogomolov-Miyaoka-Yauta positiivisessa ominaisuudessa // Proceedings of the American Mathematical Society . - 2008. - T. 136 , no. 7 . — S. 2271–2278 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-08-09466-5 .
Masa Nori Ishida. Mumfordin fake-projektiotason peittämä elliptinen pinta // The Tohoku Mathematical Journal. toinen sarja. - 1988. - T. 40 , no. 3 . — S. 367–396 . — ISSN 0040-8735 . - doi : 10.2748/tmj/1178227980 .
William E. Lang. Aritmetic and Geometry, Voi. II. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983. - T. 36. - S. 167-173. - (Ohjelma mat.).
Yoichi Miyaoka. Yleisen tyyppisten pintojen Chern-luvuista // Inventiones Mathematicae . - 1977. - T. 42 , no. 1 . — S. 225–237 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01389789 .
David Mumford . Algebrallinen pinta, jossa K ample, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101 , no. 1 . — S. 233–244 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Väärennetyt projektiivitasot // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , no. 2 . — S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Lisäys artikkeliin "Fake projective planes" // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , no. 1 . — S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Antonius Van de Ven. Tiettyjen monimutkaisten ja lähes monimutkaisten monimutkaisten sarjojen Chern-luvuista // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - National Academy of Sciences, 1966. - V. 55 , no. 6 . - S. 1624-1627 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . — .
Shing Tung Yau. Calabin arvelu ja joitain uusia tuloksia algebrallisessa geometriassa // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America . - National Academy of Sciences, 1977. - V. 74 , no. 5 . - S. 1798-1799 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Kompaktin Kähler-jakoputken Ricci-kaarevuus ja monimutkainen Monge-Ampère-yhtälö. I // Puhtaan ja sovelletun matematiikan viestintä . - 1978. - T. 31 , no. 3 . — S. 339–411 . — ISSN 0010-3640 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .