Chebyshevin epätasa-arvo

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Tšebyševin epäyhtälö (tai Bieneme-Chebyshevin epäyhtälö ) on mittateorian ja todennäköisyysteorian epäyhtälö . Sen hankki ensin Bieneme vuonna 1853 ja myöhemmin myös Chebyshev (artikkelissa "Keskiarvot" vuodelta 1867).

Mitateoriassa käytetty epäyhtälö on yleisempää, todennäköisyysteoriassa käytetään sen seurausta.

Tšebyshevin epäyhtälö mittateoriassa

Tšebyševin epäyhtälö mittateoriassa kuvaa Lebesguen integraalin ja suuren välistä suhdetta . Analogi tälle epäyhtälölle todennäköisyysteoriassa on Markovin epäyhtälö . Tšebyshevin epäyhtälöä käytetään myös osoittamaan tilan upottaminen $L_{p}$ heikkoon tilaan .

Formulaatiot

Antaa olla tila toimenpiteellä . Anna myös $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$
- $A\in {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ summataan funktioon _ _ $A$
- $c>0$ .

Silloin epätasa-arvo on totta:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\phi (x)\mu (dx)

Yleisemmin:

Jos on ei-negatiivinen todellinen mitattavissa oleva funktio , joka ei ole pienenevä määritelmäalueella , niin

g

\phi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{ A}g\circ \phi \,\mu (dx).

Tilan suhteen : $L_{p}$

Anna . Sitten

\phi (x)\in L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

Tšebyshevin eriarvoisuus voidaan saada Markovin epätasa-arvon seurauksena.

Tšebyshevin epäyhtälö todennäköisyysteoriassa

Tšebyshevin epäyhtälö todennäköisyysteoriassa sanoo, että satunnaismuuttuja saa yleensä arvoja lähellä keskiarvoaan . Tarkemmin sanottuna se antaa arvion todennäköisyydestä, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka on kaukana sen keskiarvosta.

Tšebyshevin eriarvoisuus on seurausta Markovin epätasa-arvosta .

Formulaatiot

Olkoon satunnaismuuttuja määritelty todennäköisyysavaruudessa ja sen matemaattinen odotus ja varianssi äärelliset. Sitten $X\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

missä . $a>0$

Jos , Missä on keskihajonta ja , niin saamme $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

Erityisesti satunnaismuuttuja, jolla on äärellinen varianssi, poikkeaa keskiarvosta enemmän kuin keskihajonnan todennäköisyydellä kuin . Poikkeaa keskiarvosta keskihajonnalla todennäköisyydellä, joka on pienempi kuin . Toisin sanoen satunnaismuuttuja sopii keskihajontaan todennäköisyydellä ja keskihajonnan todennäköisyydellä $2$ $25\%$ $3$ $11.12\%$ $2$ $75\%$ $3$ $88.88\%$

Tärkeimmässä unimodaalisten jakaumien tapauksessa Vysotsansky-Petunin-epäyhtälö vahvistaa merkittävästi Tšebyševin epätasa-arvoa, mukaan lukien murto-osa 4/9. Siten keskihajonnan rajoitus sisältää satunnaismuuttujan arvot. Päinvastoin kuin normaalijakaumassa , jossa keskihajonnat sisältävät satunnaismuuttujan arvot. $3$ $95.06\%$ $3$ $99.73\%$

Katso myös

Kirjallisuus

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka, 1976. - 544 s.

kirjailijoiden ryhmä. Moskovan matemaattinen kokoelma. - M. , 1867. - T. 2.

Chebyshevin epätasa-arvo

Tšebyshevin epäyhtälö mittateoriassa

Formulaatiot

Tšebyshevin epäyhtälö todennäköisyysteoriassa

Formulaatiot

Katso myös

Kirjallisuus

Linkit