Poincaré-Dulac normaalimuoto

Dynaamisten järjestelmien teoriassa Poincare – Dulac -normaalimuoto on vektorikentän tai tavallisen differentiaaliyhtälön normaalimuoto sen singulaaripisteen läheisyydessä .

Sanamuoto

Resonanssit

Määritelmän mukaan joukon resonanssi on tasa-arvo ${\displaystyle (\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n))$

\lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,

((*))

missä . $k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{ n}\geqslant 2$

Vektorikentän resonanssimonomialia, jonka lineaarinen osa on pelkistetty Jordanin normaalimuotoon ominaisarvoilla , kutsutaan monomiiksi ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n))$

z^{k}\partial /\partial z_{j},

missä ja varten ja on tyytyväinen (*). $z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$ $\lambda$ $k$

Poincaré-Dulacin lause

Lause. Formaalinen vektorikenttä, jonka origossa on singulaaripiste, vastaa muodollisesti muodollista vektorikenttää, jonka lineaarinen osa on pelkistetty Jordanin normaalimuotoon ja kaikki nollasta poikkeavat monomit ovat resonoivia.

Lauseen esitettyä muotoa kutsutaan Poincaré-Dulacin resonanssiformaaliseksi normaalimuodoksi .

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Poincarén ja Siegelin alueet

Vektorin sanotaan olevan Poincarén alueella, jos nolla ei ole kuperassa pisteiden rungossa . Muuten sen sanotaan kuuluvan Siegelin alueelle . Lopuksi, jos nolla kuuluu kuperaan runkoon yhdessä sen lähialueen kanssa, vektorin sanotaan kuuluvan tiukkaan Siegel-alueeseen . $\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2))$ $\lambda$

Poincarén alueeseen kuuluvan ominaisarvovektorin tapauksessa Poincarén-Dulacin resonanssinormaalimuoto on itse asiassa polynomi. Tällaisten ominaisarvojen tapauksessa voidaan väittää, että vektorikenttä on analyyttisesti ekvivalentti sen resonoivan muodollisen normaalimuotonsa kanssa.

Levelin lause

Levellin lause , joka kuvaa fuksialaisen singulaaripisteen resonanssinormaalimuotoa

{\piste {z}}={\frac {A(t)}{t}}z

voidaan pitää lineaarisena laajennetun järjestelmän Poincaré-Dulacin normaalimuodon muunnelmassa $z$

\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\piste {t}}=t.\end{array}}\right .

Kirjallisuus

Arnold VI, Iljashenko Yu. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Dynaamiset järjestelmät - 1 // Itogi nauki i tekhniki. — Ser. "Moderni. prob. matto. Fundam. ohjeet". - Nro 1. - M.: VINITI, 1985. - s. 7-140.
Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Luennot analyyttisistä differentiaaliyhtälöistä.