Noether-avaruus

Noether -avaruus (nimetty Emmy Noetherin mukaan ) on topologinen avaruus X , joka täyttää suljettujen osajoukkojen laskevien ketjujen päättymisehdon [1] [2] . Toisin sanoen jokaiselle avaruuden X suljettujen osajoukkojen sekvenssille siten, että: $Y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

on sellainen kokonaisluku r $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Tämä ehto vastaa sitä, että jokainen osajoukko on kompakti . $X$

Vastaavat määritelmät

Topologista avaruutta kutsutaan Noetherian, jos jokin seuraavista ekvivalenteista lauseista pätee: $X$

$X$ täyttää lopetusehdon suljettujen osajoukkojen laskeville ketjuille [1] [2] ;
$X$ täyttää ehdon avoimien osajoukkojen kasvavien ketjujen katkaisemisesta [3] ;
jokaisella ei-tyhjällä suljettujen osajoukkojen perheellä , jotka on järjestetty sisällyttämisen mukaan, on vähimmäiselementti [1] [3] ; $X$
jokaisella ei-tyhjällä avoimien osajoukkojen perheellä , jotka on järjestetty sisällyttämisen mukaan, on maksimielementti [3] ; $X$
jokainen osajoukko on kompakti ( aliavaruuden topologialla ); $X$
jokainen avoin osajoukko on kompakti [1] . $X$

Ominaisuudet

Hausdorffin avaruus on Noetherin, jos ja vain jos se on äärellinen (ja samalla se on diskreetti ) [3] .
Jokainen Noether-avaruuden aliavaruus on jälleen Noether-avaruus [1] [3] .
Jos avaruus voidaan kattaa äärellisellä määrällä Noetherin aliavaruuksia, se on itse Noetherin [1] . $X$ $X$
Noether-avaruus voidaan esittää äärellisen määrän sen redusoitumattomien komponenttien liittona [1] [2] . $X$

Esimerkkejä

Noether-avaruudet esiintyvät usein algebrallisessa geometriassa .

Zariski-topologialla varustettu avaruus ( affiini n-ulotteinen avaruus kentän k päällä ) on topologinen Noether-avaruus [2] . Zariski-topologian määritelmän mukaan, jos: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

on suljettujen joukkojen laskeva sarja, niin:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

on kasvava ideaaleiden sarja ( tarkoittaa polynomifunktioiden ideaalia, joka katoaa joka pisteessä ). Koska on Noether-rengas, on olemassa kokonaisluku , joka: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $minä (Y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \ldots, x_n]$ $m$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

Kun otetaan huomioon yksi yhteen vastaavuus radikaalien ihanteiden ja suljettujen (Zariski-topologiassa) joukkojen välillä, se pätee kaikille i :lle . Siksi: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

Esimerkkejä Noether-avaruuksista ovat kommutatiivisten renkaiden spektrit . Jos on Noether-rengas , niin avaruus (spektri ) on Noetherin [1] . $R$ $\operaattorinimi{Spec}(R)$ $R$

Katso myös

eieettisyys

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , s. 21.
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , s. 25.

Kirjallisuus

Kuzmin L. V. . Möbius-sarja // Mathematical Encyclopedia. Vol. 3 / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. tietosanakirja , 1982. - 1184 jne. - Stb. 1028.
Hartshorne R. . Algebrallinen geometria. — M .: Mir , 1981. — 597 s.

Linkit

Drozd, Juri. Johdatus algebralliseen geometriaan (linkki ei käytettävissä)