Käänteinen ongelma

Käänteisongelma on usein monilla tieteenaloilla esiintyvä ongelma , kun malliparametrien arvot täytyy saada havainnoista.

Esimerkkejä käänteisongelmista löytyy seuraavilta aloilta: geofysiikka , tähtitiede , lääketieteellinen kuvantaminen , tietokonetomografia , maan kaukokartoitus , spektrianalyysi , sirontateoria ja NDT -ongelmat .

Käänteiset ongelmat ovat huonosti esitettyjä ongelmia. Hyvin asetetun ongelman kolmesta ehdosta (ratkaisun olemassaolo, ratkaisun ainutlaatuisuus ja sen stabiilisuus ) viimeinen rikotaan useimmiten käänteisongelmissa. Funktionaalisessa analyysissä käänteisongelma esitetään metristen avaruuksien välisenä mappauksena . Käänteisongelmat muotoillaan yleensä äärettömässä -ulotteisessa avaruudessa, mutta mittausten äärellisyyden rajoitus ja äärellisen määrän tuntemattomia parametreja laskemisen tarkoituksenmukaisuus johtavat ongelman muutokseen diskreetissä muodossa. Tässä tapauksessa käytetään regularisointimenetelmää välttämiseksi uudelleenkoulutus .

Lineaarinen käänteisongelma

Lineaarista käänteisongelmaa voidaan kuvata seuraavasti:

\ d=G(m)

jossa on lineaarinen operaattori , joka kuvaa eksplisiittisiä suhteita tietojen ja malliparametrien välillä ja edustaa fyysistä järjestelmää. Diskreetin lineaarisen käänteisen ongelman tapauksessa, joka kuvaa lineaarista järjestelmää ja ovat vektoreita , mikä mahdollistaa seuraavan ongelman esityksen käyttämisen: $G$ $d$ $m$

\ d = Gm

missä on matriisi . $G$

Esimerkkejä

Esimerkki lineaarisesta käänteisongelmasta on ensimmäisen kertaluvun Fredholmin integraaliyhtälö .

d(x)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)\,m(y)\,dy

Pohjimmiltaan sujuvalle operaattorille edellä määritelty operaattori on kompakti sellaisissa Banach-avaruuksissa kuin Spaces . Vaikka kartoitus olisi yksi yhteen , käänteisfunktio ei ole jatkuva . Näin ollen pienetkin virheet tiedoissa suurentuvat huomattavasti ratkaisussa . Tässä suhteessa mitatuista tiedoista määritettävä käänteinen ongelma on virheellinen. $g$ $L^{p}$ $d$ $m$ $m$ $d$

Numeerisen ratkaisun saamiseksi integraali on tarpeen approksimoida numeerisen integroinnin ja diskreetin datan avulla. Tuloksena oleva lineaarinen yhtälöjärjestelmä on huonosti esitetty ongelma.

Radon-muunnos on myös esimerkki lineaarisesta käänteisongelmasta.

Epälineaarinen käänteisongelma

Epälineaarisissa käänteisongelmissa asetetaan datan ja mallin välille monimutkaisempia suhteita, joita kuvataan yhtälöllä:

\d=G(m).

Tässä on epälineaarinen operaattori, jota ei voida pelkistää lineaariseksi kuvaukseksi, joka muuttuu dataksi. Lineaariset käänteisongelmat ratkaistiin teoreettisesta näkökulmasta täysin 1800- luvun lopulla , epälineaarisista, vuoteen 1970 asti vain yksi ongelmaluokka ratkaistiin - takaisinsirontaongelma. Merkittävä panos oli venäläisellä matemaattisella koululla ( Kerin , Gelfand , Levitan ) . $G$ $m$

Linkit

Kansainväliset tieteelliset lehdet

Kirjallisuus

Goltsman F. M. Tilastolliset tulkintamallit. - M., Nauka, 1971. - 323 s.