Mandelstamin muuttujat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. heinäkuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Mandelshtamin muuttujat ovat kolme skalaarirelativistista invarianttisuuretta , jotka säilyvät kahden alkuainehiukkasen sirotteluprosessissa kahden uuden muodostumisen tai kahden vanhan alkuainehiukkasen säilymisen tai yhden alkuainehiukkasen hajoamisen prosessissa kolmeksi. Yleensä kutsutaan nimellä . Amerikkalainen fyysikko Stanley Mandelstam (1928-2016) esitteli ne vuonna 1958 [1] . Sirontaprosessi voidaan kuvata täysin määrittämällä vain kahden Mandelstamin muuttujan arvot. Jokainen niistä on yhtä suuri kuin jonkin hiukkasparin kokonaisenergian neliö siinä koordinaatistossa, jossa niiden keskus on levossa. [2] $s,t,u$

Määritelmä

Tarkastellaan kahden alkuainehiukkasen sirontaprosessia energia-momenttivektoreilla ja muodostumista kahden uuden alkuainehiukkasen vuorovaikutuksen tai kahden vanhan alkuainehiukkasen säilymisen jälkeen energia-momenttivektorien kanssa . Energian ja massan välinen suhde on: ${\displaystyle p_{1},p_{2))$ ${\displaystyle p_{3},p_{4))$

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2 }.

Avaruudessa ja ajassa metriikassa ne ottavat muodon $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

tai relativistisissa yksiköissä ${\näyttötyyli (c=1)}$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Tässä on alkuainehiukkasen indeksi. Energia-momenttivektorin kunkin komponentin säilyminen ilmaistaan yhtälöllä: $i=1,2,3,4$

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Tästä yhtälöstä voidaan johtaa kolme Mandelstamin muuttujaa relativistisissa yksiköissä : ${\näyttötyyli (c=1)}$

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2))$
${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2))$
${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2))$

Ominaisuudet

Mandelstamin muuttujat liittyvät suhteeseen:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Johtopäätös

Johdannassa käytämme kahta relaatiota:

Neljän pulssin neliöt ovat yhtä suuret kuin massojen neliöt:

{\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2))

Neljän pulssin tallentaminen:

{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4))

{\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4))

Tällä tavalla:

{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2))

{\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3))

{\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4))

Summaamalla ja korvaamalla massojen neliöt, saamme:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^ {2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Huomaa, että neljä viimeistä termiä katoavat neljän vauhdin säilyttämisen vuoksi:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\ cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

Tällä tavalla:

{\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2))

Muistiinpanot

↑ Mandelstam, S. Pionin ja nukleonien sirontaamplitudin määrittäminen dispersiosuhteista ja yhtenäisyydestä // Physical Review : Journal . - 1958. - Voi. 112 , no. 4 . - s. 1344 . - doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . - . Arkistoitu 28. toukokuuta 2000.
↑ Ziman, 1971 , s. 226.

Kirjallisuus

Ziman J. Moderni kvanttiteoria. - M . : Mir, 1971. - 288 s.