Peitejoukko (lukuteoria)

Matematiikassa kokonaislukujonon peittojoukko on alkulukujoukko siten , että jonon jokainen jäsen on jaollinen vähintään yhdellä joukon numerolla. Termiä "peittojoukko" käytetään vain eksponentiaalisesti kasvaville sekvensseille.

Sierpinskin ja Rieselin numerot

Termin "peitesarja" käyttö liittyy Sierpinskin ja Rieselin numeroihin . Nämä ovat parittomia luonnollisia lukuja , joille (Sierpinskin luku) tai (Rieselin luku) ovat yhdistelmä. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Vuodesta 1960 lähtien on tiedetty, että Sierpinskin ja Rieselin lukuja on äärettömän monta, mutta koska muodon tai minkä tahansa luvun lukuja on äärettömän monta , niin Sierpinskin ja Rieselin lukujen jäsenyyden todistamiseksi on tarpeen tarkistaa, että jokainen jäsen sekvenssin tai on jaollinen peittävän joukon alkuluvuilla . $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Nämä peittojoukot muodostetaan alkuluvuista , joilla on lyhyt jakso binääriesityksessä . Voidaan osoittaa, että täydellisen peittosarjan saamiseksi pisteen tulee olla vähintään 24 numeroa.[ selventää ] Jakso, jonka pituus on 24, antaa peittosarjan ja pituus 36 antaa peittosarjan: ; ; ja . Riesel-numeroilla on samat peittosarjat kuin Sierpinski-numeroilla. ${\näyttötyyli \{\,3,5,7,13,17,241\,\))$ ${\näyttötyyli \{\,3,5,7,13,19,37,73,\))$ ${\näyttötyyli \{\,3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\näyttötyyli \{\,3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\näyttötyyli \{\,3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Muut peitesarjat

Peittäviä sarjoja käytetään myös todistamaan komposiittisten Fibonacci-sekvenssien olemassaolo ( prime-free-sekvenssi ).

Peittojoukkojen käsite voidaan helposti yleistää muihin sekvensseihin. Seuraavissa esimerkeissä + käytetään samalla tavalla kuin säännöllisissä lausekkeissa - tarkoittaa yhtä tai useampaa. Esimerkiksi 91 + 3 tarkoittaa sarjaa {913, 9113, 91113, 911113…}

Esimerkki on sekvenssi:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ tai $91^{+}3$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ tai $94^{+}9$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ tai $95^{+}9$

Kussakin tapauksessa jokainen termi on jaollinen yhdellä alkuluvuista {3,7,11,13}. Nämä alkuluvut muodostavat peittojoukon täsmälleen samalla tavalla kuin Sierpinskin ja Rieselin luvut.

Vielä yksinkertaisempi tapaus on seuraava järjestys:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n:n on oltava pariton ) tai [sekvenssi: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 jne.] $(76)^{+}7$

Voidaan osoittaa, että:

Jos , niin (sopivalla toistomäärällä) on jaollinen 7:llä. $n=6k+1$ $(76)^{+}7$
Jos , niin on jaollinen 13:lla. $n=6k+3$ $(76)^{+}7$
Jos , niin on jaollinen 3:lla. $n=6k+5$ $(76)^{+}7$

Siten meillä on vain kolmen alkuluvun peittävä joukko {3,7,13}. Tämä tuli mahdolliseksi vain, koska asetimme ehdon, että n :n on oltava pariton.

Peitesarja löytyy myös järjestyksessä:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ tai . ${\displaystyle 381^{+))$

Voidaan osoittaa, että:

Jos , niin on jaollinen 3:lla. $n=3^{k}+1$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Jos , niin on jaollinen 3:lla. $n=3^{k}+2$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Jos , sitten hajoaa osaksi . ${\näyttötyyli n=3^{k))$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Koska se voidaan kirjoittaa muodossa , meillä on sekvenssille peittojoukko - peittojoukko, jossa on ääretön määrä jäseniä. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ ${\näyttötyyli 23^{+))$ ${\displaystyle 381^{+))$ ${\näyttötyyli \{\,3,37,23^{+}\,\))$

Linkit

Plateau and Depression Primes Arkistoitu 26. heinäkuuta 2013 Wayback Machinessa
Sierpinskin kaltaiset numerot Arkistoitu 17. heinäkuuta 2012 Wayback Machinessa
Yves Gallot, Pienten numeroiden haku Arkistoitu 9. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa
Louis Helm helm. Phil Moore, Payam Samidoost, George Woltman. Sierpińskin sekaongelman ratkaisu Arkistoitu 12. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa , INTEGERS: Electronic Journal of Combinatorial number Theory 8 (2008), #A61