Polylogaritmi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. joulukuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Polylogaritmi on erikoisfunktio, joka on merkitty ja määritelty äärettömäksi potenssisarjaksi $\operaattorin nimi {Li}_{s}(z)$

\operaattorinimi {Li}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},

jossa s ja z ovat kompleksilukuja ja . Muille z:ille tehdään yleistys käyttämällä analyyttista jatkoa . $|z|<1$

Polylogin korkeuskartta monimutkaisessa tasossa
$\operaattorinimi {Li}_{{-3}}(z)$
$\operaattorinimi {Li}_{{-2}}(z)$
$\operaattorinimi {Li}_{{-1}}(z)$
$\operaattorin nimi {Li}_{{0}}(z)$
$\operaattorinimi {Li}_{{1}}(z)$
$\operaattorin nimi {Li}_{{2}}(z)$
$\operaattorinimi {Li}_{{3}}(z)$

Erikoinen tapaus on , kun . Funktioita ja kutsutaan vastaavasti dilogaritmiksi ja trilogaritmiksi . Eri kertaluvun polylogaritmeille relaatio $s = 1$ $\operaattorinimi {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)$ $\operaattorin nimi {Li}_{{2}}(z)$ $\operaattorinimi {Li}_{{3}}(z)$

\operaattorin nimi {Li}_{{s+1}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operaattorin nimi {Li}_{s}(t)}{t}}\, {\mathrm {d}}t.

Vaihtoehtoisia polylogaritmin määritelmiä ovat Fermi- Dirac- ja Bose-Einstein- integraalit .

Yksityiset arvot

\operaattorinimi {Li}_{1}({\tfrac 12})=\ln 2

\operaattorin nimi {Li}_{2}({\tfrac 12})={\tfrac 1{12}}\pi ^{2}-{\tfrac 12}(\ln 2)^{2}

\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2)))={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,

(missä on Aperi-vakio )

\,\zeta (3)\,

\operaattorinimi {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)

\operaattorinimi {Li}_{{0}}(z)={z \over 1-z}

\operaattorinimi {Li}_{{-1}}(z)={z \over (1-z)^{2}}

\operaattorinimi {Li}_{{-2}}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}

\operaattorinimi {Li}_{{-3}}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}

\operaattorinimi {Li}_{{-4}}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\, .

Kirjallisuus

Abel, NH Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (fr.) / Sylow, L.; Lie, S.. - Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn, 1881. - S. 189-193. (tämä vuoden 1826 käsikirjoitus julkaistiin vasta postuumisti.)
Abramowitz, M.; Stegun, IA Matemaattisten funktioiden käsikirjakaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .
Bailey, D.H.; Borwein, PB; Plouff, S. Erilaisten polylogaritmisten vakioiden nopeasta laskemisesta // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1997. - huhtikuu ( osa 66 , nro 218 ). - s. 903-913 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
Bailey, DH & Broadhurst, DJ (20. kesäkuuta 1999), A Seventeenth-Order Polylogathm Ladder, arΧiv : math.CA/9906134 [math.CA].
Berndt, B.C. Ramanujanin muistikirjat, osa IV (uusiversio) . - New York: Springer-Verlag , 1994. - S. 323-326. - ISBN 0-387-94109-6 .
Boersma, J.; Dempsey, JP Legendren chi-funktion arvioinnista // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1992. - Voi. 59 , ei. 199 . - s. 157-163 . - doi : 10.2307/2152987 . — .
Borwein, JM; Bradley, D.M.; Broadhurst, DJ; Lisonek, P. Useiden polylogaritmien erityisarvot // Transactions of the American Mathematical Society . - 2001. - Voi. 353 , no. 3 . - s. 907-941 . - doi : 10.1090/S0002-9947-00-02616-7 .
Clunie, J. Bose-Einsteinin funktioista // Proceedings of the Physical Society, osa A : päiväkirja. - 1954. - Voi. 67 , no. 7 . - s. 632-636 . - doi : 10.1088/0370-1298/67/7/308 .
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. Kuudennentoista kertaluvun polylogaritmitikkaat (uuspr.) // Kokeellinen matematiikka. - 1992. - T. 1 , nro 1 . - S. 25-34 . Arkistoitu alkuperäisestä 1. maaliskuuta 2012.
Coxeter, HSMSchläflin ja Lobatschefskyn funktiot (uuspr.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). - 1935. - V. 6 , nro 1 . - S. 13-29 . - doi : 10.1093/qmath/os-6.1.13 .
Cvijovic, D.; Klinowski, J. Riemannin zeta-funktion ja polylogaritmien jatkuvat murto-osalaajennukset // Proceedings of the American Mathematical Society : Journal . - 1997. - Voi. 125 , nro. 9 . - P. 2543-2550 . - doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
Cvijovic, D. Polylogaritmifunktion uudet integraaliesitykset (englanti) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A : Journal. - 2007. - Voi. 463 , no. 2080 . - s. 897-905 . - doi : 10.1098/rspa.2006.1794 .
Erdelyi, A .; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, FG Higher Transcendental Functions, Voi. 1 (uuspr.) . - New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, KS Jonquiéren tai polylogaritmifunktion kompleksiset nollat // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1975. - Voi. 29 , ei. 130 . - s. 582-599 . - doi : 10.2307/2005579 . — .
GNU tieteellinen kirjasto. Viiteopas (2010). Haettu 13. kesäkuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 14. toukokuuta 2012. (määrätön)
Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. Integraalien , sarjojen ja tuotteiden taulukot . – 4. - New York: Academic Press , 1980. - ISBN 0-12-294760-6 .
Guillera, J.; Sondow, J. Kaksoisintegraalit ja äärettömät tulot joillekin klassisille vakioille Lerchin transsendentin analyyttisten jatkojen kautta // The Ramanujan Journal : päiväkirja. - 2008. - Voi. 16 , ei. 3 . - s. 247-270 . - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . - arXiv : math.NT/0506319 .
Hain, RM (25. maaliskuuta 1992), Klassiset polylogaritmit, arΧiv : alg-geom/9202022 [alg-geom].
Jahnke, E.; Emde, F. Funktiotaulukot kaavoineen ja käyrineen . – 4. - New York: Dover Publications , 1945.
Jonquière, A. Note sur la série $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}$ (ranska) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1889. - T. 17 . - S. 142-152 .
Kolbig, KS; Mignaco, JA; Remiddi, E. Nielsenin yleistetyistä polylogaritmeista ja niiden numeerisesta laskennasta // BIT : journal. - 1970. - Voi. 10 . - s. 38-74 . - doi : 10.1007/BF01940890 .
Kirillov, AN Dilogaritmi- identiteetit // Progress of Theoretical Physics Supplement : päiväkirja. - 1995. - Voi. 118 . - s. 61-142 . - doi : 10.1143/PTPS.118.61 . - arXiv : hep-th/9408113 .
Lewin, L. Dilogaritmit ja niihin liittyvät funktiot (epämääräinen) . – Lontoo: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polylogaritmit ja niihin liittyvät funktiot (epämääräinen) . - New York: North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-00550-1 .
Lewin, L. (Toim.). Polylogaritmien rakenteelliset ominaisuudet (neopr.) . - Providence, R.I.: Amer. Matematiikka. Soc., 1991. - V. 37. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-1634-9 .
Markman, B. Riemannin Zeta-funktio (määrittämätön) // BIT. - 1965. - T. 5 . - S. 138-141 .
Maximon, LC Dilogaritmifunktio monimutkaiselle argumentille (neopr.) // Proceedings of the Royal Society (Lontoo), sarja A. - 2003. - V. 459 , nro 2039 . - S. 2807-2819 . - doi : 10.1098/rspa.2003.1156 .
McDougall, J.; Stoner, E. C. Fermi-Dirac-funktioiden laskeminen (neopr.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (Lontoo), sarja A. - 1938. - V. 237 , nro 773 . - S. 67-104 . doi : 10.1098 / rsta.1938.0004 .
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (saksa) // Nova Acta Leopoldina. - Halle - Leipzig, Saksa: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. - T. XC , nro 3 . - S. 121-212 .
Prudnikov, A. P.; Marichev, OI; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, Voi. 3 : Lisää erikoistoimintoja . - Newark, NJ: Gordon and Breach , 1990. - ISBN 2-88124-682-6 . (katso § 1.2, "Yleistetty zeta-funktio, Bernoullin polynomit, Euler-polynomit ja polylogaritmit", s. 23.)
Robinson, JE Huomautus Bose-Einsteinin integraalisista funktioista (neopr.) // Physical Review, Series 2. - 1951. - V. 83 , No. 3 . - S. 678-679 . - doi : 10.1103/PhysRev.83.678 .
Rogers, LJ Sarjaan liittyvistä funktion summalauseista // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : Journal. - 1907. - Voi. 4 , ei. 1 . - s. 169-189 . - doi : 10.1112/plms/s2-4.1.169 . $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}$
Erwin Schrodinger . Tilastollinen termodynamiikka (neopr.) . – 2. - Cambridge, Iso-Britannia: Cambridge University Press , 1952.
Truesdell, C. Funktiosta, joka esiintyy polymeerien rakenteen teoriassa // Annals of Mathematics, Series 2 : Journal. - 1945. - Voi. 46 , nro. 1 . - s. 144-157 . - doi : 10.2307/1969153 . — .
Vepstas, L. (helmikuu 2007), Tehokas algoritmi värähtelysarjojen konvergenssin kiihdyttämiseen, hyödyllinen polylogaritmin ja Hurwitzin zeta-funktioiden laskemiseen, arΧiv : math.CA/0702243 [math.CA].
Whittaker, E.T .; Watson, GN Modernin analyysin kurssi (määrittelemätön) . – 4. - Cambridge, Iso-Britannia: Cambridge University Press , 1952.
Wood, DC Polylogaritmien laskeminen. Tekninen raportti 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (kesäkuu 1992). Haettu 1. marraskuuta 2005. Arkistoitu alkuperäisestä 14. toukokuuta 2012. (määrätön)
Zagier, D. (1989). "Dilogaritmifunktio geometriassa ja lukuteoriassa". Numeroteoria ja siihen liittyvät aiheet: Ramanujan-kollokviumissa Bombayssa 1988 esitellyt asiakirjat . Matematiikan opinnot. 12 . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research ja Oxford University Press. s. 231-249. ISBN 0-19-562367-3 .(näkyy myös nimellä "The Remarkable dilogathm" julkaisussa Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), s. 131-145 ja luvussa I julkaisussa ( Zagier 2007 ).)
Zagier, D. Numeroteorian, fysiikan ja geometrian rajat II - Konformaalisten kenttäteorioiden, diskreettien ryhmien ja renormalisoinnin osalta / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - P. 3-65. — ISBN 978-3-540-30307-7 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Polylogathm (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Dilogaritmi (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .