Puoligeodeettiset koordinaatit

Puoligeodeettiset koordinaatit tai geodeettiset normaalikoordinaatit ovat koordinaatteja -ulotteisessa Riemannin monistossa , jolle on tunnusomaista se, että vastaavat koordinaattiviivat ovat geodeettisia tekijöitä, joilla on luonnollisen parametrin rooli ja koordinaattipinnat ovat kohtisuorassa näihin geodeettisiin tekijöihin nähden. $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}=\mathrm {const}$

Puoligeodeettisissa koordinaateissa ensimmäinen neliömuoto on muotoa [1]

\mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},

eli kaikille . _ $g_{11}\equiv 1$ $g_{1j}\equiv 0$ $j>1$

Esimerkkejä

Euklidisen avaruuden suorakulmaiset koordinaatit ovat puoligeodeettisia.

Lobachevsky -avaruus sallii puoligeodeettiset koordinaatit metrisen tensorin kanssa
${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^ {2\cdot x_{1}}\end{pmatrix}}$
- Toisin sanoen -ulotteinen Lobatševsky-avaruus on isometrinen kaarevan tuotteen suhteen . $n$ $\mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times }_{\exp ))}\mathbb {R}$

Ominaisuudet

Puoligeodeettiset koordinaatit voidaan ottaa riittävän pienelle alueelle minkä tahansa Riemannin moniston minkä tahansa pisteen alueella [1] .

Mikä tahansa täydellinen yksinkertaisesti yhdistetty ei-positiivisen kaarevuuden monisto sallii globaaleja semigeodeettisia koordinaatteja, joiden ensimmäinen koordinaatti on yhtä suuri kuin Busemann-funktio .

Kaksiulotteisen pinnan (manifold) tapauksessa ensimmäinen neliömuoto puoligeodeettisissa koordinaateissa on muotoa [1] $u, v$ ${\displaystyle \mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2))$

positiivisella funktiolla , kun taas pinnan Gaussin kaarevuus lasketaan kaavalla

B(u,v)

K=-B_{uu}/B.

Kirjallisuus

Sh. Kobayashi, K. Nomizu . Differentiaaligeometrian perusteet, M.: Nauka, 1981.
W. Klingenberg . Riemannilainen geometria, de Gruyter (1982).
W. Klingenberg . Differentiaaligeometrian kurssi, Springer (1983).
B. O'Neill . Semi-Riemannian geometria (sovelluksilla suhteellisuusteoriaan), Acad. Press (1983).

Linkit

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Encyclopedia of Mathematics