Puoliryhmä

Yleisalgebran puoliryhmä on joukko , jolle on määritelty assosiatiivinen binäärioperaatio . On kiistaa siitä, pitäisikö ei-tyhjyysvaatimus sisällyttää puoliryhmän määritelmään; Jotkut kirjoittajat jopa vaativat neutraalin elementin ("yksi") tarvetta. Yleisempi lähestymistapa on kuitenkin se, että puoliryhmä ei välttämättä ole ei-tyhjä eikä se välttämättä sisällä neutraalia elementtiä. Puoliryhmää, jossa on neutraali elementti, kutsutaan monoidiksi ; mikä tahansa puoliryhmä , joka ei sisällä neutraalia elementtiä, voidaan muuttaa monoidiksi lisäämällä siihen jokin elementti ja määrittelemällä tuloksena oleva monoidi, jota yleensä merkitään . ${\näyttötyyli (S,\cdot )}$ $S$ $e\not \in S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ $S^{1}$

Esimerkkejä puoliryhmistä: luonnolliset luvut , joissa on summausoperaatio , joukko joukon kaikki kuvaukset itseensä kokoonpanooperaatiolla , kaikkien sanojen joukko jonkin aakkoston yli ketjutusoperaatiolla . Mikä tahansa ryhmä on myös puoliryhmä; Renkaan ideaali on aina kertolaskuoperaation alainen puoliryhmä.

Määritelmä

Puoliryhmä on (ei-tyhjä) joukko , jossa mille tahansa tietyssä järjestyksessä otetulle alkioparille määritellään uusi elementti, jota kutsutaan niiden tuloksi , ja mille tahansa aina [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ $(XY)Z=X(YZ)$

Puoliryhmien tyypit

Puoliryhmää kutsutaan kommutatiiviseksi (tai Abeliksi ), jos se pätee aina mille tahansa . ${\mathfrak {U}}$ ${\näyttötyyli A,B\in {\mathfrak {U}}}$ $AB=BA$

Tärkeät luokat muodostavat puoliryhmiä, joissa on vähennys [2] :

vasemmalla supistumalla , jos jokin niistä aina merkitsee ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $XA=XB$ $A=B$
oikealla supistumisella , jos jokin niistä aina edellyttää ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=BY$ $A=B$
kahdenvälisellä peruutuksella , jos se on puoliryhmä, jossa on sekä vasen että oikea peruutus samanaikaisesti.

Puoliryhmän elementtiä kutsutaan säännölliseksi , jos siinä on elementti , jossa . Puoliryhmää, jonka kaikki elementit ovat säännöllisiä, kutsutaan säännölliseksi puoliryhmäksi . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$

Puoliryhmän elementin sanotaan olevan täysin säännöllinen , jos elementissä on sellainen, että ja . Täysin säännöllinen puoliryhmä on puoliryhmä, jonka kaikki elementit ovat täysin säännöllisiä [3] . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$ $AX=XA$

Puoliryhmä , jossa kaikille on aina olemassa sellainen, että ja on ryhmä . ${\mathfrak {U}}$ ${\näyttötyyli A,B\in {\mathfrak {U}}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ $XA=B$ $AY=B$

Puoliryhmärakenne

Jos , niin on tapana merkitä . $A,B\alajoukko S$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

Puoliryhmän osajoukkoa kutsutaan osapuoliryhmäksi, jos se itse on puoliryhmä suhteessa toiminnon rajoitukseen osajoukkoon. Tätä varten riittää, että kahdelle elementille heidän tuotteestaan kuuluu myös . $A$ $S$ $A$ $A$

Jos osajoukko on ei-tyhjä ja (vastaavasti, ) sijaitsee , niin sitä kutsutaan oikeaksi (vastaavasti vasemmaksi) ihanteeksi . Jos on sekä vasen- että oikeistoideaali, sitä kutsutaan kaksipuoliseksi ihanteeksi tai yksinkertaisesti ihanteeksi. $A$ $AS$ $SA$ $A$ $A$ $A$

Minkä tahansa alapuoliryhmien perheen leikkaus ja liitto on myös alaryhmä; tästä seuraa, että alapuoliryhmät muodostavat täydellisen hilan . Esimerkki puoliryhmästä, jossa ei ole minimiideaalia, ovat positiiviset kokonaisluvut summausoperaatiolla. Jos on vähiten ideaali ja puoliryhmä on kommutatiivinen, se on ryhmä.

Assosiatiivisuuden ansiosta puoliryhmän elementin luonnollinen aste voidaan määritellä oikein seuraavasti:

a^{n}={\overset {n}{\yliviiva {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

Elementin asteen osalta relaatio on tosi . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$

Puoliryhmien erikoistapaus ovat puoliryhmät, joissa on jako , jossa jokaiselle kahdelle elementille ja oikealle ja vasemmalle osamäärä määritellään. $a$ $b$ $(a/b)$ $(b/a)$

Äärillisellä puoliryhmällä on aina idempotentti (elementti, jolle ). $aa=a$

Puoliryhmän homomorfismi on kartoitus, joka säilyttää puoliryhmän rakenteen. Nimittäin kuvaamista puoliryhmästä puoliryhmään kutsutaan homomorfismiksi, jos . Kaksi puoliryhmää ja sanotaan olevan isomorfinen , jos on olemassa bijektiivinen homomorfismi . $f$ $R$ $S$ $\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\kaksoispiste S\:ksi T$

Greenin suhteet

Vuonna 1951 James Green esitteli viisi perusekvivalenssisuhdetta puoliryhmässä. Ne osoittautuivat välttämättömiksi puoliryhmän ymmärtämiselle sekä paikallisesti että globaalisti. Greenin suhteet puoliryhmässä määritellään seuraavilla kaavoilla: $S$

aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}

aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b

aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H = L\ cap R

D=R\vee L

Se seuraa suoraan määritelmästä, että on oikea kongruenssi ja vasen kongruenssi. Tiedetään myös, että . Yksi puoliryhmien teorian perustavanlaatuisimmista väitteistä on Greenin lemma, jonka mukaan jos elementit ja ovat R-ekvivalentteja, , niin että , ja ovat vastaavia siirtymiä oikealle, niin ne ovat keskenään käänteisiä bijektioita on ja päinvastoin. Heillä on myös H-luokka. $R$ $L$ $D=R\circ L=L\circ R$ $a$ $b$ $u$ $v$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $La}$ $Paunaa}$

Muistiinpanot

↑ Lyapin, 1960 , s. 28.
↑ Lyapin, 1960 , s. 29.
↑ Lyapin, 1960 , s. 104.

Kirjallisuus

Shevrin L. N. . Luku IV. Puoliryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E.S. Puoliryhmät. - M .: Fizmatlit, 1960. - 592 s.