Operaattoreiden puoliryhmä

Operaattoreiden puoliryhmä on yhden parametrin perhe lineaarisesti rajoitettuja operaattoreita Banach-avaruudessa . Operaattoreiden puoliryhmien teoria syntyi 1900-luvun puolivälissä sellaisten tunnettujen matemaatikoiden töissä kuin Hille ( eng. Einar Hille ), Phillips ( eng. Ralph Saul Phillips ), Yosida , Feller . Tämän teorian pääsovellukset ovat: abstraktit Cauchyn ongelmat, paraboliset yhtälöt , stokastiset prosessit .

Määritelmä

Olkoon Banach - tila . Operaattoreiden puoliryhmä avaruudessa on ryhmä rajoitettuja operaattoreita , , joka täyttää seuraavat ominaisuudet: $X$ $\{T_{t}\}_{t\geqslant 0}$ $X$ ${\näyttötyyli T_{t}:X\to X}$ $t\geqslant 0$

$T_{t}T_{s}=T_{t+s}$ , jossa operaattoreiden kertolasku on näiden kuvausten koostumus.
$T_{0}=I$ , missä on identiteettioperaattori tilassa . $minä$ $X$

Puoliryhmän määritelmästä seuraa, että mille tahansa puoliryhmälle on vakioita , jotka: $M>0,\alpha \in R$

\|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.

Puoliryhmägeneraattori

Operaattoreiden puoliryhmien teorian keskeinen käsite on puoliryhmän generaattorin käsite. Puoliryhmän generaattori tai puoliryhmän äärettömän pieni generoiva operaattori on operaattori ${\näyttötyyli T_{t))$

A:X\supset D(A)\to X

A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t)),\ \varphi \in D(A),

jossa verkkoalue on määritelty elementtijoukoksi siten, että annettu raja on olemassa. Puoliryhmägeneraattori on lineaarinen, yleisesti ottaen rajoittamaton operaattori. Jos puoliryhmä on vahvasti jatkuva, niin generaattorin verkkoalue on tiheä ja generaattori itse on suljettu operaattori. Toisaalta jokainen suljettu, tiheästi määritelty operaattori ei ole puoliryhmän generaattori. Generaattorin määrittää yksiselitteisesti puoliryhmä; generaattori määrittelee yksiselitteisesti puoliryhmän, jos se on vahvasti jatkuva. $D(A)$ $X$

Puoliryhmien tyypit

Parametrin tasaisuudesta riippuen otetaan huomioon erityyppiset puoliryhmät.

Puoliryhmää kutsutaan tasaisesti jatkuvaksi, jos seuraava ehto täyttyy: ${\näyttötyyli T_{t))$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0

jossa raja ymmärretään operaattoritopologian merkityksessä .

Puoliryhmää kutsutaan -puoliryhmäksi tai vahvasti jatkuvaksi puoliryhmäksi, jos seuraava ehto täyttyy: ${\näyttötyyli T_{t))$ $C_{0}$

\lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0

mille tahansa kiinteälle elementille . $\varphi \in X$

Sopimuspuolisilla ryhmillä on tärkeä rooli sovelluksissa. Voimakkaasti jatkuvan puoliryhmän sanotaan olevan supistuva, jos seuraava ehto täyttyy:

\|T_{t}\|\leqslant 1

Voimakkaasti jatkuvaa puoliryhmää kutsutaan analyyttiseksi puoliryhmäksi, jos se voidaan analyyttisesti laajentaa jollekin sektorille ${\näyttötyyli T_{t))$

\Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2

tavalla, joka on jatkuva . $T_{\lambda }$ ${\overline {\Delta }}_{\delta }$

Kriteerit puoliryhmien generaattoreille

Lineaarinen operaattori avaruudessa generoi tasaisesti jatkuvan puoliryhmän, jos ja vain jos se on rajoitettu operaattori. Tämä tarkoittaa, että äärellisulotteisissa avaruudessa kaikki puoliryhmät ovat tasaisesti jatkuvia. $A$ $X$ $A$

Kriteeri vahvasti jatkuvan puoliryhmän generaattorille on seuraava lause: Lineaarinen operaattori on vahvasti jatkuvan puoliryhmän generaattori, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $A$

Operaattori on suljettu. $A$
Määritelmäalue on tiheä . $D(A)$ $X$
On sellainen, että kaikki luvut ovat ratkaisevia operaattorille . $\lambda _{0}$ ${\displaystyle \lambda \geqslant \lambda _{0))$ $A$
On olemassa jatkuva sellainen, että kaiken epätasa-arvon $c_{1}>0$ ${\displaystyle \lambda >\lambda _{0))$

\|(\lambda IA)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k =1,2,\pisteet

Jos ehdon 4) sijasta ehto

\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0))},

silloin operaattori on myös vahvasti jatkuvan puoliryhmän generaattori. Tapaus tunnetaan Hille-Yosida-lauseena : lineaarinen operaattori on supistuvan puoliryhmän generaattori, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $A$ $\lambda _{0}=0$ $A$

Operaattori on suljettu. $A$
Määritelmäalue on tiheä . $D(A)$ $X$
Kaikki numerot ovat operaattorin kannalta ratkaisevia . $\lambda \geqslant 0$ $A$
Kaikille pätee seuraava eriarvoisuus: $\lambda >0$ $\|\lambda IA\|\leqslant {\frac {1}{\lambda )),$

Jotta vahvasti jatkuvan puoliryhmän generaattori olisi analyyttisen puoliryhmän generaattori, on tarpeen vaatia huomattavasti suurempia ehtoja operaattorin spektriltä . $A$ $A$

Operaattori on analyyttisen puoliryhmän generaattori silloin ja vain jos siinä on lukuja ja että joukko on vapaa operaattorin spektristä ja epäyhtälöstä $A$ $\pi /2<\omega \leqslant \pi$ $q\geqslant 0$ ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\))$ $A$

\|(\lambda IA)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },

jossa vakio ei riipu . $c_{2}>0$ $\lambda$

Toinen vastaava kriteeri analyyttisen puoliryhmän generaattorille on, että vahvasti jatkuvan puoliryhmän generaattori on analyyttisen puoliryhmän generaattori, jos

\|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,

missä on vakio riippumaton . $C>0$ $t$

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Pazy A. Lineaaristen operaattorien puoliryhmät ja sovellukset osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. New York-Berliini-Heidelberg, Springer, 1983.
Kerin S. G. Lineaariset differentiaaliyhtälöt Banach-avaruudessa. - M.: Nauka, 1967.
Hille E., Phillips R. Funktionaalinen analyysi ja puoliryhmät. - M.: IL, 1962.
Kato T. Lineaaristen operaattoreiden häiriöteoria. - M.: Mir, 1972.
Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, NY, 2000.
R. V. Shamin. Operaattoreiden puoliryhmät. M.: RUDN, 2008. - 205 s.