Polaarinen hajoaminen

Polaarinen hajottelu on neliömatriisin esitys hermiittisten ja unitaaristen matriisien tulona . Se on analogi minkä tahansa kompleksiluvun hajottelulle muodossa . $A$ $S$ $U$ $A = SU$ $z=|z|e^{i\varphi }$

Ominaisuudet

Mikä tahansa neliömatriisi yli (yli ) voidaan esittää muodossa , jossa on symmetrinen (hermiittinen) ei-negatiivinen määrätty matriisi, on ortogonaalinen (unitaarinen) matriisi. Jos matriisi on ei- degeneroitunut , niin tällainen esitys on ainutlaatuinen [1] . $A$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $A = SU$ $S$ $U$ $A$
Mikä tahansa matriisi voidaan esittää muodossa , jossa ja ovat unitaarimatriiseja, on diagonaalimatriisi [1] . $A$ $A=UDW$ $U$ $W$ $D$
Jos ovat rappeutumattoman matriisin polaariset laajennukset , niin [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $A$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Olemassaolo

Osoitetaan, että mikä tahansa neliömatriisi yli voidaan esittää symmetrisen ei-negatiivisen määrätyn matriisin ja ortogonaalisen matriisin tulona. $A$ $\mathbb {R}$

Koska , matriisi on symmetrinen. On [2] kanta, jota voidaan merkitä : lla ja joka koostuu matriisin ortonormaaleista ominaisvektoreista, jotka on järjestetty ominaisarvojen laskevaan järjestykseen. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Koska , sitten minkä tahansa vektorin ja perusteella , . Tämä tarkoittaa, että kantan kuva muunnoksen suhteen on ortogonaalinen (kannan vektorien väliset kulmat säilyvät, mutta ei niiden pituuksia). Muunnoksen aikana kantavektorit muunnetaan vektoreiksi . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{i}$ $e_j$ $e$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e_j}))$ $\vec{e}$ $A$ $A$ $\vec{e_i}$ $e$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

Matriisin singulaariarvot ovat matriisin ominaisarvojen neliöjuuria . $A$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Siksi on selvää, että . Koska tarkasteltavassa kannassa vektorit on järjestetty niiden ominaisarvojensa laskevaan järjestykseen, on olemassa luku , joka . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Antaa olla järjestelmä vektorit klo , Täydennetty ortonormaali perusteella mielivaltaisesti. Antaa olla siirtymämatriisi perusteella perusteella . Koska molemmat emäkset ovat ortonormaalia, matriisi on ortogonaalinen. Koska matriisin ominaisvektorien ortonormaali kanta on olemassa . Tämä tarkoittaa, että kannassa oleva matriisi on diagonaalimuodossa, ja siksi se on symmetrinen mielivaltaisessa ortonormaalisessa kannassa. $f$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ $minä <r$ $K$ $e$ $f$ $K$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i}e_i$ $Q^{-1} A$ $Q^{-1} A$ $\vec{e}$

Joten, missä matriisi on ortogonaalinen ja matriisi on symmetrinen. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $K$ $Q^{-1} A$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Lineaarialgebran tehtäviä ja lauseita, 1996 , s. 224.
↑ symmetrisen matriisin ominaisarvot

Kirjallisuus

Prasolov VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - M .: Nauka, 1996. - 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .