Kategoriateoriassa edustava funktori on erikoistyyppinen funktori mielivaltaisesta kategoriasta joukkojen luokkaan . Eräässä mielessä sellaiset funktionaaliset funktiot määrittelevät luokan esityksen joukkojen ja funktioiden muodossa.
Olkoon C paikallisesti pieni luokka , jolloin jokaiselle sen objektille A Hom( A ,-) on funktori Hom , joka lähettää objektit X joukoille Hom( A , X ).
Funktorin F : C → Joukon sanotaan olevan esitettävissä , jos se on luonnollisesti isomorfinen Hom( A ,-):n kanssa jollekin luokan C objektille A.
Kontravarianttifunktio G C :stä Setiin , jota yleensä kutsutaan esiriviksi , on esitettävissä, jos se on luonnostaan isomorfinen kontravariantin hom-funktoriin Hom(-, A ) jollekin luokan C objektille A.
Yonedan lemman mukaan Hom( A ,-): n luonnolliset muunnokset F :ksi ovat yksi yhteen vastaavuus F ( A ) -elementtien kanssa. F : n esityksen saamiseksi meidän on tiedettävä minkä u ∈ F ( A ) vastaava luonnollinen muunnos on isomorfismi. Tämä motivoi seuraavaa määritelmää:
Funktorin F : C → Set universaali alkio on pari ( A , u ), jossa A on C :n ja u ∈ F ( A ) objekti siten, että mille tahansa parille ( X , v ), v ∈ F ( X ) on olemassa ainutlaatuinen morfismi f : A → X siten , että ( Ff ) u = v .
u ∈ F ( A ) indusoima luonnollinen muunnos on isomorfismi silloin ja vain jos ( A , u ) on universaali alkuaine. Siksi funktionaaliesityksiä kutsutaan usein yleisiksi jäseniksi. Universaalista ominaisuudesta seuraa, että funktorin esitys on ainutlaatuinen ainutlaatuiseen isomorfismiin asti (yksiarvoisuus seuraa kuitenkin myös Yoneda-upotuksen täydellisyydestä).
Universaalin nuolen ja liitännäisfunktorien kategoriset määritelmät voidaan ilmaista edustavilla funktoreilla.
Olkoon G : D → C C : n funktori ja X objekti . Silloin ( A ,φ) on universaali nuoli X :stä G :hen, jos ja vain jos ( A ,φ) on esitys funktorista Hom C ( X , G -) D :stä joukkoon . Tästä seuraa, että G :llä on vasen duaali F , jos ja vain jos Hom C ( X , G- ) on edustava kaikille C :n X : ille. Myös kaksoisväitteet pitävät paikkansa.