Luokkateoria

Kategoriateoria on matematiikan haara , joka tutkii matemaattisten objektien välisten suhteiden ominaisuuksia, jotka eivät riipu objektien sisäisestä rakenteesta.

Kategoriateoria on keskeinen nykyajan matematiikassa [1] , ja se on löytänyt sovelluksia myös tietojenkäsittelytieteessä [2] , logiikassa [3] ja teoreettisessa fysiikassa [4] [5] . Algebrallisen geometrian ja homologisen algebran nykyaikainen kuvaus perustuu olennaisesti kategoriateorian käsitteisiin. Yleisiä kategoriakäsitteitä käytetään aktiivisesti myös toiminnallisessa ohjelmointikielessä Haskell [6] .

Määritelmä

Luokka on: ${\mathcal {C}}$

objektiluokka ; _ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$
jokaiselle esineparille on annettu joukko morfismeja (tai nuolia) , ja jokainen morfismi vastaa vain niitä ja ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
morfismiparille ja koostumus on määritelty ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
jokaiselle objektille on annettu identiteettimorfismi ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

ja kaksi aksioomia täyttyy :

kokoonpanooperaatio on assosiatiivinen : ja $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
identiteettimorfismi toimii triviaalisti: for $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Pieni luokka

Objektien luokka ei välttämättä ole joukko aksiomaattisen joukkoteorian merkityksessä . Kategoria , jossa on joukko ja (luokan kaikkien morfismien joukko) on joukko, kutsutaan pieneksi . Lisäksi on mahdollista (pienellä määritelmän korjauksella) tarkastella luokkia, joissa minkä tahansa kahden objektin väliset morfismit muodostavat myös luokan tai jopa suuremman rakenteen [7] . Tässä määritelmän muunnelmassa luokan, jossa kahden kiinteän objektin väliset morfismit muodostavat joukon, sanotaan olevan paikallisesti pieni . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Luokkaesimerkkejä

Set on sarjojen luokka . Tämän luokan objektit ovat joukkoja , morfismit ovat joukkojen kuvauksia .
grp on ryhmien luokka . Objektit ovat ryhmiä, morfismit ovat kartoituksia, jotka säilyttävät ryhmärakenteen ( ryhmähomomorfismit ).
Vect K on vektoriavaruuksien luokka kentän K yläpuolella . Morfismit ovat lineaarisia kuvauksia .
Moduulien luokka .

Muiden algebrallisten järjestelmien luokat määritellään samalla tavalla .

Top on topologisten avaruuksien luokka . Morfismit ovat jatkuvia kartoituksia .
Mille tahansa asetukselle voidaan rakentaa pieni luokka, jonka objektit ovat joukon alkioita , ja elementtien x ja y välillä on ainutlaatuinen morfismi, jos ja vain jos x ≤ y (tietenkin tämä luokka on erotettava kategoriasta osittain tilatuista sarjoista!).
Met on luokka , jonka objektit ovat metrinen avaruutta ja jonka morfismit ovat lyhyitä kuvauksia .

Kommutatiiviset kaaviot

Kommutatiiviset kaaviot ovat tavallinen tapa kuvata luokkateorialauseita . Kommutatiivinen kaavio on suunnattu graafi , jonka kärjessä on objektit ja morfismit nuolina , eikä nuolien koostumuksen tulos riipu valitusta polusta. Esimerkiksi kategoriateorian aksioomit (koostumuksen assosiatiivisuus ja identiteettimorfismiominaisuus) voidaan kirjoittaa kaavioilla:

Kaksinaisuus

Luokalle voit määrittää kaksoisluokan , jossa: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

objektit vastaavat alkuperäisen luokan kohteita;
morfismit saadaan "kääntämällä nuolia taaksepäin": ${\mathrm {Hom}}_{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

Kaksinaisuuden periaate sanoo, että mille tahansa kategoriateorian väitteelle on mahdollista muotoilla duaalilausunto käyttämällä nuolia kääntämällä, kun taas väitteen totuus ei muutu. Usein kaksoiskäsitettä merkitään samalla termillä etuliitteellä co- (katso esimerkit alla).

Perusmääritelmät ja ominaisuudet

Isomorfismi, endomorfismi, automorfismi

Morfismia kutsutaan isomorfismiksi , jos on olemassa sellainen morfismi , että ja . Kahden objektin, joiden välillä on isomorfismi, sanotaan olevan isomorfisia . Erityisesti identiteettimorfismi on isomorfismi, joten mikä tahansa esine on isomorfinen itselleen. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Morfismeja, joissa alku ja loppu ovat samat, kutsutaan endomorfismeiksi . Endomorfismijoukko on monoidi suhteessa identiteettielementin koostumuksen toimintaan . ${\mathrm {End}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Endomorfismeja, jotka ovat myös isomorfismeja, kutsutaan automorfismeiksi . Minkä tahansa kohteen automorfismit muodostavat automorfismiryhmän koostumuksen mukaan. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfismi, epimorfismi, bimorfismi

Monomorfismi on sellainen morfismi, että jollekinsiitäseuraa, että. Monomorfismien koostumus on monomorfismi. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

Epimorfismi on sellainen morfismi, että jollekinseuraavista. Epimorfismien koostumus on epimorfismi. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

Bimorfismi on morfismi, joka on sekä monomorfismi että epimorfismi. Jokainen isomorfismi on bimorfismi, mutta jokainen bimorfismi ei ole isomorfismi.

Monomorfismi, epimorfismi ja bimorfismi ovat injektiivisen , surjektiivisen ja bijektiivisen kartoituksen käsitteiden yleistyksiä. Mikä tahansa isomorfismi on monomorfismi ja epimorfismi; päinvastoin, yleisesti ottaen, ei pidä paikkaansa kaikissa luokissa.

Alku- ja pääteobjektit

Kategorian alkuperäinen (alkuperäinen, yleisesti vastenmielinen) objekti on sellainen objekti, josta on ainutlaatuinen morfismi mihin tahansa kategorian objektiin.

Jos luokassa on alkuobjekteja, ne ovat kaikki isomorfisia.

Kaksinkertaisella tavalla määritellään terminaali tai universaalisti houkutteleva kohde - tämä on sellainen esine, johon mistä tahansa luokan objektista on ainutlaatuinen morfismi.

Luokkaobjektia kutsutaan tyhjäksi , jos se on sekä alkuperäinen että pääte.

Esimerkki: Set - luokassa alkuperäinen objekti on tyhjä joukko , pääteobjekti on mikä tahansa yhden elementin joukko .

\varno mitään

\{\cdot \}

Esimerkki: Luokassa Grp on tyhjä objekti - tämä on yhden elementin ryhmä.

Tulo ja objektien summa

Objektien A ja B tulo (pari) on objekti, jolla on morfismejajasellainen, että mille tahansa objektille, jolla on morfismejajaon olemassa ainutlaatuinen morfismisiten,että oikealla oleva kaavio on kommutoiva. Morfismejakutsutaan projektioksiksi . _ $A\ kertaa B$ $p_{1}:A\kertaa B\-A$ $p_{2}:A\kertaa B\-B$ $C$ $f_{1}:C\to A$ $f_{2}:C\to B$ $g:C\–A\time B$ $p_{1}:A\kertaa B\-A$ $p_{2}:A\kertaa B\-B$

Olioiden summa tai yhteistulo ja on kaksinkertaisesti määritelty . Vastaavia morfismeja kutsutaan upotuksiksi . Nimestään huolimatta ne eivät yleensä ole monomorfismeja . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\-A+B$ $\imath _{B}:B\to A+B$

Jos tuote ja sivutuote ovat olemassa, ne määritetään yksilöllisesti isomorfismiin asti.

Esimerkki: Luokassa Joukko A:n ja B : n tulo on joukkoteorian merkityksessä suora tulo ja summa on disjunktiliitto .

A\ kertaa B

A \sqcup B

Esimerkki: Ring - luokassa summa on tensoritulo ja tulo on renkaiden suora summa .

Joskus B

A\oplus B

Esimerkki: Luokassa Vect K (äärellinen) tulo ja summa ovat isomorfisia - tämä on vektoriavaruuksien suora summa .

A\oplus B

Minkä tahansa objektiperheen tulo on helppo määritellä samalla tavalla . Äärettömät tuotteet ovat yleensä paljon monimutkaisempia kuin äärelliset tuotteet. Esimerkiksi, vaikka Vect K :n äärelliset tulot ja sivutuotteet ovat isomorfisia suorille summille, äärettömät tulot ja sivutuotteet eivät ole isomorfisia. Äärettömän tuotteen alkiot ovat mielivaltaisia äärettömiä elementtijonoja , kun taas äärettömän yhteistuotteen elementit ovat sekvenssejä, joissa vain äärellinen määrä termejä ei ole nolla. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funktiot

Funktiot ovat rakennetta säilyttäviä luokkakartoituksia. Tarkemmin,

Funktori (kovariantti) yhdistää jokaisen luokkaobjektin luokkaobjektiin ja jokaisen morfismin morfismiin siten, että ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\ to B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)))$ ja
$F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ .

Kontravarianttifunktiontori tai kofunktiontori voidaan ymmärtää kovarianttifunktiona pisteestä - ( tai -funktioon ), eli "funktoriksi, joka kääntää nuolia päinvastaiseksi". Hän nimittäin yhdistää jokaiseen morfismiin morfismin , ja koostumussääntö käännetään sen mukaisesti: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\ to B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$

Luonnolliset muutokset

Luonnollisen transformaation käsite ilmaisee kahden funktorin välistä suhdetta. Funktiot kuvaavat usein "luonnollisia rakenteita", tässä mielessä luonnolliset muunnokset kuvaavat tällaisten rakenteiden "luonnollisia morfismeja".

Jos ja ovat kovarianttifunktioita luokasta luokkaan , niin luonnollinen muunnos määrittää jokaiselle luokan objektille morfismin siten , että mille tahansa kategorian morfismille seuraava kaavio on kommutatiivinen: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $X$ $C$ $\eta_X: F(X)\to G(X)$ $f:X\Y:ksi$ $C$

Kahden funktorin sanotaan olevan luonnostaan isomorfisia , jos niiden välillä tapahtuu luonnollinen muunnos, joka on isomorfismi mille tahansa . $\eta _{X}$ $X$

Jotkin luokkatyypit

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Kategoriateoria Haskellissa .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Abstraktit ja konkreettiset luokat: Kissojen ilo Arkistoitu 25. maaliskuuta 2010 Wayback Machinessa , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Linkit

"Category Theory" Stanford Encyclopedia of Philosophy -kirjassa (englanniksi) .
I. Ivanov. Tarvitsevatko fyysikot kategoriateoriaa? . Elements (10. syyskuuta 2008). (Venäjän kieli)
Luokkateoria kieli Haskell . Haettu 13. maaliskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2011.

Kirjallisuus

S. Maclane [Maclane S.] Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle . - Moskova: Fizmatlit, 2004. (Venäjän kieli)
S. Maclane [Maclane S.] Homologia . - Moskova: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Venäjän kieli)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Luokat . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Tieteen ja tekniikan tuloksia, Algebra-Topologia-Geometria). (Venäjän kieli)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Luennot kategoriateoriasta . - Moskova: Nauka , 1970. (Venäjän kieli)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Luokkateorian perusteet . - Moskova: Nauka , 1974. (Venäjän kieli)
Bucur I., Deleanu A. Johdatus kategorioiden ja funktionaalisten tekijöiden teoriaan . - Moskova: Mir , 1972. - S. 259. (Venäjän kieli)
Faith [Faith C.] osa 1 // Algebra - renkaat, moduulit ja kategoriat . - Moskova: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Venäjän kieli)
Faith [Faith C.] osa 2 // Algebra - renkaat, moduulit ja kategoriat . - Moskova: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Venäjän kieli)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Osamäärän kategoriat ja homotoopiateoria . - Moskova: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (Venäjän kieli)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - logiikan kategorinen analyysi . - 1983. - T. 98. - ( Logiikkaa & matematiikan perusteita ). (Venäjän kieli)
Fulton E, MacPherson R. Kategorinen lähestymistapa singulariteettien tilan tutkimukseen / toim. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Uutta ulkomaisessa tieteessä, matematiikassa ). (Venäjän kieli)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. General Algebra . - Moskova: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 s. - ( Uutta ulkomaisessa tieteessä, matematiikassa ). — 25 500 kappaletta. — ISBN 5-02-014427-4 . (Venäjän kieli)
DE Rydeheard, RM Burstall. Laskennallinen kategoriateoria . - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 s. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya. Luennot funktionaalisesta analyysistä . - Moskova: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (Venäjän kieli)
R. Goldblatt. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi = Topoi. Kategoriaalinen logiikan analyysi . - Moskova: Mir , 1983. - 488 s. (Venäjän kieli)
Rodin A. V. Kategoriateoria ja fysiikan uusien matemaattisten perusteiden etsintä // Filosofian kysymyksiä . - 2010. - Nro 7 . - S. 67 .

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"