Alkeista topot

Alkeistopos on luokka , jossain mielessä samanlainen kuin joukkojen luokka , toposteorian pääasiallinen tutkimuskohde . Alkeistopojen avulla voidaan kuvata sekä itse joukkoteorian että vaihtoehtoisten teorioiden ja logiikan, esimerkiksi intuitionistisen logiikan , aksiomatiikkaa .

Määritelmä

Alkeistopos on karteesinen äärellisen täydellinen luokka , jossa on erottuva objekti , jota kutsutaan aliobjektiluokittajaksi , ja monomorfismi siihen terminaalisesta objektista , nimeltään totuus (merkitty myös ), niin että jokaiselle monomorfismille on ainutlaatuinen morfismi , jolle kaavio $\Omega$ $T\colon 1\to \Omega$ $totta$ $m\colon A\to B$ $\chi _{m}\colon B\to \Omega$

on karteesinen neliö .

Toisin sanoen alkeistopos on luokka, jossa on pääteobjekti ja kuitutuotteet , sekä minkä tahansa kahden objektin eksponentiaali ja ja aliolion luokitin . $a^{b}$ $a$ $b$ $\Omega$

Ominaisuudet

Mikä tahansa alkeistopos on äärettömän täydellinen (määritelmän mukaan) ja äärettömän täydentävä .

Esimerkkejä

Pääesimerkki toposista, joiden ominaisuudet ovat muodostaneet perustan yhteiselle määritelmälle, on joukkojen topos . Siinä joukkojen eksponentiaali ja on joukko kartoituksia kohteesta - . Aliobjektiluokitin on joukko , jossa on luonnollinen upotus ja se on joukon osajoukon ominaisfunktio , joka on yhtä suuri kuin 1 elementtien osalta ja 0 elementtien osalta . Osaobjektit ovat sen osajoukkoja. $A$ $B$ $A^{B}$ $B$ $A$ $\Omega =\{0;1\}$ $m$ $A$ $B$ $\chi _{m}$ $A$ $B$ $A$ $A\backslash B$ $A$
Äärillisten joukkojen luokka on myös topos. Tämä on tyypillinen esimerkki alkeistopoksesta, joka ei ole Grothendieck-topos.
Jokaisessa kategoriassa funktionaalien luokka on Grothendieck-topos. Funktorien rajat ja kolimitit lasketaan pisteittäin. Funktoreille morfismifunktori annetaan kaavalla $C$ $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ $F,G$ ${\näyttötyyli [F,G]}$

[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))

Yonedan lemmasta seuraa, että objektin aliobjektiluokittaja on yhtä suuri kuin esitettävän funktion alifunktioiden joukko .

\Omega

c\in C

\mathrm {Hom} (c,\cdot )

Missä tahansa topologisessa avaruudessa olevien joukkojen pyörät on Grothendieckin topos. Jos osoitamme avaruuteen sen upottamalla järjestettävien avoimien osajoukkojen luokkansa, niin topojen rakenne pyöräkategoriassa kuvataan täsmälleen samalla tavalla kuin toposissa . Ainoa ero on se, että esitettävän lyhteen kaikki alipyörät ovat sarjassa . $X$ $Ouv(X)$ $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$ $\Omega (c)$ $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$
Yleisemmin sanottuna missä tahansa luokassa , jolla on tietty Grothendieck-topologia , joukkojen -pyörien luokka on Grothendieck-topos. Lisäksi kaikilla Grothendieck-topoilla on tämä muoto. $C$ $\tau$ $\tau$
Yleisesti ottaen kaikki Grothendieck-topos eivät ole lyhteitä jossain topologisessa avaruudessa. Esimerkiksi topologisen avaruuden pyörteiden toposissa on aina pisteitä, jotka vastaavat tämän avaruuden pisteitä, kun taas yleisellä toposilla ei välttämättä ole pisteitä . Analogia topojen ja välilyöntien välillä voidaan tarkentaa, jos tarkastelemme alueita välilyönteinä ja topojen luokka vastaa alueiden luokkaa. Epämuodollisesti alue on se, mikä jää topologisen avaruuden käsitteestä, jos unohdamme pisteet ja huomioimme vain sen avoimien osajoukkojen hilan. Topologisissa avaruuksissa ei ole eroa katsoako niitä välilyönteinä ja alueina. Alueen ei kuitenkaan tarvitse vastata jotakin topologista tilaa. Erityisesti siinä ei vaadita pisteitä.

Kirjallisuus

Goldblatt R. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi = Topoi. Kategoriaalinen logiikan analyysi / Per. englannista. V. N. Grishin ja V. V. Shokurov, toim. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
P. T. Johnston. Topoi-teoria / Toim. Yu.I. Manin. — M .: Nauka , 1986. — 440 s.
F. Borceux. Kategorisen algebran käsikirja 3. Hyllyjen luokat. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 522 s. — ISBN 0 521 44180 3 .
PT Johnstone. Luonnokset elefantista: Topos-teoriakokoelma. - Oxford: Clarendon Press, 2002. - Vol. 1. - ISBN 0 19 852496 X .