Grothendieckin topologia

Grothendieck-topologia on luokkaan kuuluva rakenne, joka saa sen objektit näyttämään topologisen avaruuden avoimista joukoista . Kategoria yhdessä Grothendieck-topologian kanssa kutsutaan paikaksi [1] tai sivustoksi [2] .

Grothendieckin topologiat aksiomatisoivat avoimen kannen määritelmän , mikä mahdollistaa lyhteiden määrittelyn kategorioihin ja niiden kohemologiaan , minkä ensimmäisenä teki Alexander Grothendieck kaavioiden etale - kohomologiaa varten .

On olemassa luonnollinen tapa liittää topologinen avaruus Grothendieckin topologiaan, tässä mielessä sitä voidaan pitää tavallisten topologioiden yleistyksenä . Samaan aikaan suurelle topologisten avaruusluokille on mahdollista palauttaa topologia sen Grothendieck-topologiasta, mutta näin ei ole antidiskreetissä avaruudessa .

Määritelmä

Motivaatio

Klassinen lyhteen määritelmä alkaa jostain topologisesta avaruudesta . Se liittyy luokkaan , jonka objektit ovat topologian avoimia joukkoja, ja kahden objektin välinen morfismijoukko koostuu yhdestä elementistä, jos ensimmäinen joukko on upotettu toiseen (näitä kuvauksia kutsutaan avoimille upotuksiksi), ja muuten tyhjä. Sen jälkeen esirivi määritellään ristiriitaiseksi funktionaaliseksi joukot luokkaan ja nippu määritellään liimausaksiooman täyttäväksi esiriviksi . Liimausaksiooma on muotoiltu pistepeittoon, eli se kattaa jos ja vain jos . Grothendieck-topologiat korvaavat jokaisen kokonaisella avoimien joukkojen perheellä; tarkemmin sanottuna korvataan avoimella liiteperheellä . Tällaista perhettä kutsutaan seulaksi . $X$ $HÄRKÄ)$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $U_{i}$ $U_{i}$ $V_{ij}\to U_{i}$

Seula

Jos on luokan mielivaltainen objekti , niin hila on funktorin alifunktio . Luokan tapauksessa avoimen joukon seula on jokin avointen osajoukkojen perhe , joka on suljettu avoimen osajoukon ottamista varten. Mielivaltainen avoin joukko , sitten on osajoukko , vastaavasti, se on tyhjä, jos - ei osajoukko , ja voi muuten koostua yhdestä elementistä; jos se ei ole tyhjä, voidaan olettaa, että se on valittu seulan avulla. Jos on osajoukko , silloin on olemassa morfismi , joten jos se ei ole tyhjä, se ei myöskään ole tyhjä. $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $HÄRKÄ)$ $S$ $U$ $U$ $V$ $S(V)$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $V$ $U$ $V$ $W$ $V$ $S(V)\to S(W)$ $S(V)$ $S(W)$

Aksioomit

Luokan Grothendieck-topologia on valinta jokaiselle luokan ruudukkojoukon objektille , jota merkitään . Elementtejä kutsutaan peiteruudukoiksi . _ Erityisesti seula avoimella sarjalla peittää silloin ja vain, jos kaikkien liitto , sellainen, joka ei ole tyhjä, on kaikki . Tämän valinnan on täytettävä seuraavat aksioomit: $J$ ${\mathcal C}$ $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $J(c)$ $J(c)$ $c$ $S$ $U$ $V$ $S(V)$ $U$

pohjamuutos: jos on peittävä seula päällä ja on morfismi, niin seulan käänteiskuva ( ) -toiminnon alaisena on peittävä seula päällä . $S$ $X$ $f:Y\to X$ $f$ $f\ast S$ $Y$
paikallinen merkki: jos on peittävä seula päällä , on mielivaltainen seula päällä , ja jokaiselle esineelle ja jokaiselle morfismille kuuluvalle seulan käänteiskuva on peittävä seula päällä , sitten on peittävä seula päällä . $S$ $X$ $T$ $X$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C))$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $X$
yksikkö: — peittävä seula kaikille luokan esineille . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$

Alustan vaihtaminen vastaa ajatusta, että jos peittää , niin kansi . Paikallinen merkki vastaa sitä tosiasiaa, että jos kannet ja kannet kullekin , niin kaikki kansi . Lopuksi yksi vastaa sitä tosiasiaa, että jokainen joukko voidaan kattaa kaikkien sen osajoukkojen liitolla. $\{U_{i}\}$ $U$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $U$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U_{i}$ $i$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U$

Situs ja niput

Luokassa nippu voidaan määritellä liimauksen aksiooman avulla. Osoittautuu, että nippu voidaan määritellä mihin tahansa luokkaan Grothendieck-topologialla: nippu paikalla on sellainen nippu , että mille tahansa esineelle ja peittävälle seulalle , joka on indusoitu Hom(−, X ):n upottamisesta, on näkemys. Morfismi nivelten välillä, aivan kuten esiketjujen välinen morfismi, on funktioiden luonnollinen muunnos . Kaikkien paikan lyhteiden luokkaa kutsutaan Grothendieck-topoksiksi . Lyhteet, Abelin ryhmät, renkaat, moduulit ja muut rakenteet määritellään samalla tavalla. $HÄRKÄ)$ ${\näyttötyyli ({\mathcal {C)),J)}$ $F$ $X$ $S$ $X$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Yonedan lemman avulla voidaan todistaa, että tällä tavalla määritellyssä kategoriassa oleva nippu osuu yhteen topologisessa mielessä olevan lyhteen kanssa. $HÄRKÄ)$

Esimerkkejä tilanteista

Diskreetti ja antidiskreetti topologia

Satunnaisen luokan diskreetti topologia saadaan julistamalla kaikki seulat auki. Antidiskreetin topologian määrittämiseksi vain muotoisia seuloja tulisi pitää avoimina . Antidiskreetissä topologiassa mikä tahansa esirippu on nippu. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Kanoninen topologia

Kanoninen topologia mielivaltaisessa kategoriassa on hienovaraisin topologia , joten kaikki esitettävät esirivit (muodon. Topologiaa, joka on vähemmän ohut (eli topologiaa, jossa mikä tahansa esitettävä esirippu on nippu), kutsutaan subkanoniseksi . , suurin osa käytännössä kohdatuista topologioista on subkanonisia. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Topologiseen avaruuteen liittyvät pienet ja suuret paikat

Pienen paikan topologisen avaruuden vertailua varten kategoriassa peitteet ilmoitetaan sellaiset seulat , että kaikkien ei-tyhjien liitto osuu yhteen kaikkien kanssa . $HÄRKÄ)$ $S$ $V$ $S(V)$ $U$

Topologisten avaruuksien luokkaan kuuluvaa seulaa kutsutaan peittäväksi seulaksi, jos seuraavat ehdot täyttyvät: $S$ $\mathbf {Top}$

kaikille ja morfismeille , jotka kuuluvat , on olemassa esine ja nuoli , joka on avoin upotus, kuuluu ja kulkee sen läpi ; $Y$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $V$ $g:V\to X$ $g$ $g$ $S(V)$ $f$ $g$
jos on liitto , jonka läpi kulkee , niin . $W$ $f(Y)$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $W=X$

Topologisten avaruuksien pilkkukategorialle kiinteän topologisen avaruuden yläpuolella topologia indusoidaan kategorian avulla . Tuloksena olevaa luokkaa kutsutaan topologiseen avaruuteen liittyväksi suureksi paikaksi . $X$ $\mathbf {Top}$ $X$

Piirien luokan topologiat

Toiminnot paikkojen välillä

Muistiinpanot

↑ R. Goldblatt. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi. - M .: Mir, 1983. - 487 s.
↑ P. Johnston. Topoi teoria. - M .: Nauka, 1986. - 440 s.

Kirjallisuus

Artin, Michael. Grothendieckin topologiat - Harvard University, Dept. matematiikan, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - voi. 1 (Matematiikan luentomuistiinpanot 151). - Berliini; New York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie etale des schémas - (SGA 4) - voi. 1 (Matematiikan luentomuistiinpanot 269). - Berliini; New York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.