Moduulin luokka

Moduulikategoria on luokka , jonka objektit ovat oikeita (vasen tai kaksipuolisia, etukäteen sovittaessa) unitaarisia moduuleja mielivaltaisen assosiatiivisen renkaan K päällä, jossa on yksikkö, ja jonka morfismit ovat K-moduulien homomorfismeja.

Tämä kategoria on tärkein esimerkki Abelin kategoriasta . Lisäksi missä tahansa pienessä Abelin luokassa on täydellinen tarkka upotus johonkin moduuliluokkaan. Moduulikategorian ominaisuudet heijastavat useita tärkeitä renkaan ominaisuuksia , joukko tärkeitä renkaan ominaisuuksia liittyy tähän luokkaan, erityisesti sen homologiset mitat ja osittain sen sisäinen rakenne. Moduuliluokka kommutatiivisen äärellisesti generoidun renkaan yli sisältää koko renkaan spektrin affiinisen kaavion algebrogeometrisen ominaisuuden (yksi Serren lauseista ). $K$

Eri renkaiden moduulien luokat voivat olla samanarvoisia (eli niillä on sama joukko isomorfisten objektien luokkia, jotka ovat samassa suhteessa toisiinsa). Tässä tapauksessa vastaavien renkaiden sanotaan olevan Morita-ekvivalentteja . Esimerkiksi moduuliluokat eri kertaluvun matriisien algebroissa ovat keskenään ekvivalentteja, mutta yhteisellä kentällä. Kaikki ne vastaavat saman kentän tilojen luokkaa.

Esimerkkejä

Jos on kokonaislukujen rengas, niin moduulien luokka on Abelin ryhmien luokka. $K=\mathbb {Z}$
Jos on kenttä , niin moduulien luokka on vektoriavaruuksien luokka . $K=F$ $F$

Kirjallisuus

Face K. Algebra: Sormukset, moduulit, kategoriat, volyymi 1,2. - M . : "Mir", 1977-79, - 688 s. + 464 s.
Kash F. Moduulit ja renkaat. - M . : "Mir", 1981, - 368 s.
Lambek I. Sormukset ja moduulit . - M . : "Mir", 1971, - 280 s.