Supistettu polynomi

Kompleksilukujen algebrassa pelkistetty polynomi on polynomi yhdessä muuttujassa, jonka yksikköpääkerroin [1] . Polynomin johtava kerroin on suurimman asteen monomin kerroin [2] . Näin ollen pelkistetyllä polynomilla yhden muuttujan x suhteen on muoto

missä a n −1 , …, a 0 ovat kertoimet.

Polynomivähennys

Kompleksilukujen joukossa on kertomisen suhteen neutraali alkio 1 ( yksi ), ja kun ne lasketaan yhteen, vähennetään, kerrotaan ja jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla, saadaan aina kompleksiluku, eli tämä joukko on kenttä , mikä tarkoittaa, että mikä tahansa polynomi tässä kentässä voidaan pelkistää pelkistetyksi polynomiksi, jonka juuret pysyisivät samoina, jakamalla johtavalla kertoimella. Algebran peruslauseen ja Bezoutin lauseen mukaan mikä tahansa monimutkainen polynomi voidaan hajottaa muotoon n ( x  −  x 1 )…( x −  x  n ) , missä x 1 , …, x n ovat kaikki polynomin juuria . ottaa huomioon niiden moninkertaisuuden , ja a n osoittautuu johtavaksi tekijäksi. Siksi, kun yhden muuttujan mikä tahansa polynomi muutetaan pelkistetyksi polynomiksi, se voidaan esittää muodossa ( x  −  x 1 )…( x  −  x n ). Siten käy ilmi, että kompleksilukujen alalla pelkistetty polynomi, jolla on monikertaisuus huomioon ottaen samat juuret kuin alkuperäisellä, on yksiselitteisesti määritelty.

Kiinteistö

Sulkeminen kertolaskussa

Kaikkien pelkistettyjen polynomien joukko (kertoimilla jonkin renkaan yli ja muuttujalla x ) suljetaan kertolaskussa, eli pelkistettyjen polynomien tulo on aina pelkistetty polynomi.

Algebralliset kokonaisluvut

Algebrallinen kokonaisluku on luku, joka voi olla jonkin kokonaislukukertoimien pelkistetyn polynomin juuri [3] . Algebralliset kokonaisluvut yleistävät karkeasti sanottuna kokonaislukuja samalla periaatteella, jolla rationaaliluvut yleistetään algebrallisiksi luvuiksi : jos algebrallisella luvulla on ensimmäinen potenssi , niin se on rationaalinen ja jos kokonaisluku on algebrallinen, niin se on kokonaisluku . Malli: Sfb .

Minimipolynomi

Algebralliset luvut, jotka ovat algebrallisten kokonaislukujen "rationaalisia" yleistyksiä, ovat lukuja, jotka voidaan esittää jonkin polynomin juurina, joiden rationaaliset kertoimet eivät ole identtisiä nollan kanssa. Tällaisia ​​polynomeja on äärettömän paljon: ne voidaan muodostaa kertomalla alkuperäinen polynomi nollasta poikkeavalla kertoimella sekä lineaarisella kertoimella.

Kaikista näistä polynomeista "optimaalisin" on minimaalinen polynomi. Algebrallisen luvun minimipolynomi (jossa on kertoimet jostain kentästä, joka sisältää yhden) on pienimmän asteen pelkistetty polynomi.

Muistiinpanot

  1. ↑ Vinberg, 2013 , s. 99.
  2. ↑ Vinberg, 2013 , s. 91.
  3. ↑ Vinberg, 2013 , s. 385.

Kirjallisuus

Vinberg E.B. Algebran kurssi. - 2., poistettu .. - MTsNMO, 2013. - 590 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .