Ensisijainen Abelin ryhmä

$s$ -ensisijainen Abelin ryhmä (jossa on kiinteä alkuluku ) on Abelin ryhmä siten, että minkä tahansa alkion järjestys arvosta on potenssi . $s$ ${\näyttötyyli (A,+)}$ $A$ $s$

Esimerkkejä

$(\mathbb {Z} _{p^{n)),+)$ on jäämäluokkien additiivinen ryhmä modulo ; $p^{n}$
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ on polynomirenkaan additiivinen ryhmä kentän päällä . $\mathbb {Z} _{p}$

Ominaisuudet

Mikä tahansa jaksollinen Abelin ryhmä (eli ryhmä ilman äärettömän järjestyksen elementtejä) hajoaa -ensisijaisten aliryhmien suoraksi summaksi. $s$

Ensisijaista Abelin ryhmää kutsutaan alkeisryhmäksi, jos kaikkien sen nollasta poikkeavien elementtien järjestys on yhtä suuri kuin . ${\näyttötyyli (A,+)}$ $s$

Abelin ryhmä on -ensisijainen alkeisryhmä silloin ja vain, jos se hajoaa muodon ryhmien suoraksi summaksi . $A$ $s$ $\mathbb {Z} _{p}$

$s$ Elementin korkeus on pienin luonnollinen luku siten, että . Jos tällaista luonnollista ei ole olemassa, elementillä on ääretön -korkeus. $a\in A$ $n$ $a\in nA$ $n$ $a$ $s$

Kulikovin kriteeri :A -ensisijainen Abelin ryhmä on syklisten ryhmien suora summajos ja vain joson nousevan alaryhmien ketju $s$ $A$ $A$

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}= A

jossa aliryhmien nollasta poikkeavien elementtien korkeudet ovat pienempiä kuin kiinteä elementti . $s$ $A_{i}$ $k_n$

Kulikovin kriteeri yleistää Pruferin lauseet :

Pruferin ensimmäinen lause : Rajoitettu-ensisijainen (jaksollinen) Abelin ryhmä on syklisten aliryhmien suora summa. $s$
Pruferin toinen lause :Laskettava -ensisijainen Abelin-ryhmä hajoaa syklisten aliryhmien suoraksi summaksi silloin ja vain, jos se ei sisällä nollasta poikkeavia alkioita, joiden korkeus on ääretön. $s$ $s$

Kirjallisuus

L. Fuchs Äärettömät Abelin ryhmät. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
L. Ya. Kulikov Abelin mielivaltaisten kardinaalisuuden ryhmien teoriasta // Matemaattinen kokoelma , 1941. - V. 9, nro 1. - P. 165-181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. - V. 17, No. 1. - P. 35-61.