Projektiivinen malli

Projektiivinen malli ( Klein -malli , Beltrami-Klein- malli) on italialaisen matemaatikon Eugenio Beltramin ehdottama Lobachevsky-geometriamalli . Saksalainen matemaatikko Felix Klein kehitti sen itsenäisesti.

Sen avulla todistetaan Lobatševskin geometrian johdonmukaisuus olettaen euklidisen geometrian johdonmukaisuutta .

Historia

Tätä mallia ehdotti Beltrami yhdessä Poincarén mallin ja pseudosfäärimallin kanssa [1]

Jo aikaisemmin, vuonna 1859, Cayley rakensi tämän mallin . Mutta hän piti sitä vain tiettynä projektiivisen geometrian konstruktiona eikä ilmeisesti huomannut mitään yhteyttä ei-euklidiseen geometriaan . Vuonna 1869 nuori (20-vuotias) Klein tutustuttiin hänen työhönsä . Hän muistaa, että hän antoi vuonna 1870 raportin Cayleyn työstä Weierstrassin seminaarissa ja, kuten hän kirjoittaa, "lopetti sen kysymällä, oliko Cayleyn ja Lobatševskin ideoiden välillä yhteyttä. Sain vastauksen, että nämä ovat kaksi järjestelmää, jotka ovat konseptiltaan kaukana toisistaan. Kuten Klein sanoo: "Annoin itseni vakuuttua näistä vastalauseista ja syrjään ajatuksen, joka oli jo kypsynyt." Kuitenkin vuonna 1871 hän palasi tähän ajatukseen, muotoili sen matemaattisesti ja julkaisi [2] .

Malli

Lobatševskin tasoa edustaa tässä mallissa avoin kiekko, jota rajoittaa jokin ympyrä , jota kutsutaan absoluutiksi . Absoluutin pisteet, joita kutsutaan myös "ideaalipisteiksi", eivät enää kuulu Lobatševskin tasoon. Lobatševskin tason suora on absoluuttisen sointu, joka yhdistää kaksi ideaalista pistettä.

Lobatševskin geometrian liikkeet projektitiivisessa mallissa on julistettu tason projektiivisiksi muunnoksiksi , jotka kääntävät absoluutin sisäpuolen itseensä. Kongruentit ovat absoluutin sisällä olevat luvut, jotka on muunnettu toisiinsa sellaisilla liikkeillä. Jos pisteet ja sijaitsevat jänteellä niin, että niiden järjestys on linjalla , etäisyys Lobatševskin tasossa määritellään seuraavasti $A$ $B$ $PQ$ $PABQ$ $\ell (A,B)$

\ell (A,B)={\frac {R}{2}}\,{{\rm {ln}}}(PQ;BA)

jossa tarkoittaa kaksoissuhdetta , on Lobatševskin tason kaarevuussäde . $(PQ;BA)$ $R$

Muistiinpanot

Mikä tahansa sellaisella kielellä kuvattu euklidisen geometrian tosiasia edustaa jotakin Lobatševskin geometrian tosiasiaa. Toisin sanoen mikä tahansa väite Lobatševskin ei-euklidisesta geometriasta tasossa ei ole mitään muuta kuin euklidisen geometrian lausunto tasossa, joka viittaa ympyrän sisällä oleviin kuvioihin, jotka on kerrottu uudelleen ilmoitetuin ehdoin.

Euklidinen aksiooma yhdensuuntaisuudesta ei selvästikään täyty tässä mallissa, koska pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä jänteellä , kulkee kuinka monta sointua ei leikkaa sitä. $O$ $a$

Ominaisuudet

Rajaympyrällä kohtaavat sointeet vastaavat asymptoottisesti yhdensuuntaisia viivoja .

Kaksi jännettä ovat kohtisuorassa, jos ne ulottuvat kiekon yli, kumpikin kulkee toisen navan läpi ( jänteen napa on absoluuttisen tangenttien leikkauspiste jänteen päätepisteissä). Kiekon keskustan läpi kulkevilla jänteillä on napa äärettömyydessä, joka on kohtisuorassa jänteen suuntaan nähden (tämä seuraa, että halkaisijoiden suorat kulmat eivät vääristy).

Mallin ympyrät muuttuvat ellipseiksi ;
Horosyklit vastaavat ellipsiä, joka on yhteydessä 4. kertaluvun absoluuttiseen.
Tasaisen etäisyyden päässä oleva viiva vastaa ellipsien kaaria, jotka koskettavat absoluuttia tämän suoran kahdessa absoluuttisessa pisteessä.

Kirjallisuus

Klein F. Niin kutsutusta ei-euklidisesta geometriasta. Kokoelmassa: Funds of Geometry, M., GITTL, 1956.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. XII - Fizmatlit, Moskova, 2009.

Muistiinpanot

↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moskova, 2009.