Neliön summattavien sekvenssien avaruus

Neliön summattavien sekvenssien avaruus on metriavaruus , yksi sekvenssien perusavaruista , koostuu äärettömistä lukujonoista, joille sarja: $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$

{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2))

konvergoi ja jossa kahden pisteen välinen etäisyys määritellään [1] : $\rho (x,y)$ $x,y$

{\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2))))

Vakiomerkintä on [1] . Ainoa sekvenssiavaruus , joka on Hilbert-avaruus . $\ell ^{2}$ $\ell ^{p}$

Alkioiden summa ja kertominen reaaliluvulla määritellään komponenttikohtaisesti analogisesti euklidisen avaruuden kanssa :

\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+ y_{i}\}_{i=1}^{\infty }

, .

{\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty ))

Skalaarituote:

{\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i))

Normi sellaisessa tilassa määritellään seuraavasti:

\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)))={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2} }}

Esimerkkejä:

muodon äärettömät sekvenssit ovat mukana, koska sarja konvergoi; $x=(1,{\frac {1}{2)),{\frac {1}{3)),\dots ,{\frac {1}{n)),\dots )$ $\ell ^{2}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))))$
Fourier-sarjan kertoimet ovat sellaiset, että , mikä seuraa Besselin epäyhtälöstä . $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n} ,\pisteet )\in \ell ^{2}$

Mikä tahansa euklidinen avaruus on avaruuden aliavaruus , mikä seuraa mahdollisuudesta esittää sen pisteitä muodossa . $\mathbb {R} ^{n}$ $\ell ^{2}$ $x=(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n},0,0,\pisteet )$

Kvanttimekaniikka kehitettiin alun perin kahden ekvivalentin teorian muodossa: Heisenbergin matriisimekaniikka , jossa käytetään tilaa , ja Schrödingerin aaltomekaniikka käyttäen Hilbertin avaruutta, joka on isomorfinen sille [2] . $\ell ^{2}$ $L^{2}$

Avaruutta kutsutaan joskus koordinaatti-Hilbert-avaruudeksi [ 1] . $\ell ^{2}$

Katso myös

Rajattujen sekvenssien avaruus

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Sobolev V. I. Luentoja matemaattisen analyysin lisäluvuista. - M., Nauka , 1968. - s. 32
↑ A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin . Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - M .: MGU, 1960. - T. II. Mittaa, Lebesgue-integraali, Hilbert-avaruus. - S. 94-96.

Kirjallisuus

Vulikh BZ Johdatus funktionaaliseen analyysiin. - M .: Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 kappaletta.
Hilbert avaruus _