Pseudo-holomorfinen käyrä

Pseudoholomorfinen käyrä (tai J -holomorfinen käyrä ) on tasainen kartoitus Riemannin pinnasta lähes monimutkaiseksi monimutkaiseksi , joka täyttää Cauchyn ja Riemannin yhtälöt .

Historia

Mihail Gromov esitteli pseudoholomorfiset käyrät vuonna 1985 , ja siitä lähtien ne ovat mullistaneet symplektisten monistojen tutkimuksen . Erityisesti symplektinen kamelin teoreema todistettiin käyttämällä pseudoholomorfisia käyriä.

Niitä käytetään myös Gromov-Wittenin invarianttien määrittelyssä Floer - homologiassa tärkeä rooli merkkijonoteoriassa

Määritelmä

Olkoon lähes monimutkainen monimutkainen rakenne lähes monimutkainen . Olkoon tasainen Riemannin pinta (kutsutaan myös monimutkaiseksi käyräksi ), jolla on monimutkainen rakenne . Pseudholomorfinen käyrä in on kuvaus , joka täyttää ehdon $X$ $J$ $C$ $j$ $X$ $f:C\to X$

J\circ df=df\circ j,

Eli differentiaali on kompleksi-lineaarinen. $df$

Muistiinpanot

Näyttää erityisesti tangenttivälit $J$ $T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X$

itselleni.

Vaikka pseudoholomorfiset käyrät on määritelty mielivaltaiselle lähes monimutkaiselle monille, pseudoholomorfisten käyrien pääsovellukset ovat symplektisissä monistoissa, joissa on yhteensopiva lähes monimutkainen rakenne . $J$
- Eli sellainen, että seuraava epäyhtälö pätee kaikille nollasta poikkeaville tangenttivektoreille $v$ $\omega (v,Jv)>0,$

missä tarkoittaa symplektistä muotoa .

\omega

Erityisesti

(v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\oikea)

määrittelee Riemannin metriikan .

Kaikkien yhteensopivien lähes monimutkaisten rakenteiden tila on ei- tyhjä ja

supistuva .

\omega

J

Ominaisuudet

Jos pseudokompleksirakenne on symplektiselle muodolle, johon liittyy Riemannin metriikka , mikä tahansa -holomorfinen käyrä on minimaalinen pinta . ${\displaystyle J\colon T_{p}\to T_{p))$ $g$ $J$
- Lisäksi mikä tahansa -holomorfinen käyrä minimoi alueen homologialuokkaansa ja on sen
mittamuoto . $J$ $\omega$

Viitteet

Toimittanut Eliashberg J. ja Treynor L. Luennot symplektisesta geometriasta ja topologiasta . - MTsNMO, 2008. - 424 s. - 1000 kappaletta. — ISBN 978-5-94057-130-8 .
Dusa McDuff ja Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society kollokvion julkaisut, 2004. ISBN 0-8218-3485-1 .
M. Gromov. Pseudoholomorfiset käyrät symplektisissä monissa // Inventiones Mathematicae. - 1985. - Voi. 82 . - s. 307-347 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2018.
Donaldson, Simon K. Mikä on... pseudoholomorfinen käyrä? (englanti) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - lokakuu ( osa 52 , nro 9 ) - s. 1026-1027 .