Pseudopelkistävä ryhmä

Kentän k pseudoreduktiivinen ryhmä (kutsutaan joskus k - reduktiiviseksi ryhmäksi ) on tasaisesti yhdistetty affiininen algebrallinen ryhmä, joka on määritelty k:n yli , jonka k -unipotentti radikaali (eli suurin tasaisesti kytketty unipotentti normaali k -alaryhmä) on triviaali. Täydellisen kentän kohdalla pseudoreduktiiviset ryhmät ovat samoja kuin (yhdistetyt) pelkistävät ryhmät , mutta epätäydellisistä kentistä Jacques Tits löysi useita esimerkkejä pseudoreduktiivisista ryhmistä, jotka eivät ole reduktiivisia. Pseudopelkistävä k - ryhmä ei välttämättä ole reduktiivinen (koska k -unipotentti radikaali ei yleensä kommutoi ei-separoitavalla skalaarilaajennuksella k :hen , kuten skalaarilaajennuksella kentän k algebralliseen sulkeutumiseen ). Pseudoreduktiiviset ryhmät syntyvät luonnollisesti algebrallisten ryhmien tutkimuksessa monistojen funktiokentillä, joilla on positiivinen ulottuvuus ja positiivinen ominaisuus (jopa täydellisen vakiokentän yli).

Springer [1] selitti Titsin pseudoreduktiivisten ryhmien tuloksista, kun taas Konrad, Gabber ja Prasad [2] käyttivät Titsin työtä yleisen rakenneteorian kehittämiseen, mukaan lukien edistyneemmät alueet, kuten rakennustekniikat, juurijärjestelmät, juuriryhmät ja avoimet solut, teoreemojen luokitukset ja sovellukset rationaalisiin viereisyyslauseisiin tasaisesti yhdistetyille affiineille ryhmille mielivaltaisten kenttien yli. Vuoden 2010 yleinen teoria (sovellusten kanssa) on tiivistetty Remyn paperissa [3] ja myöhemmin Konradin, Gabberin ja Prasadin toisessa painoksessa [4] , lisäparannuksilla Konradissa ja Prasadissa [5] .

Esimerkkejä ei-pelkistyvistä pseudo-pelkistyvistä ryhmistä

Oletetaan, että k on ominaisuuden 2 epätäydellinen kenttä ja a on k :n ei- neliöalkio . Olkoon G nollasta poikkeavien alkioiden ryhmä x + y √ a kohdassa k [ √ a ]. On olemassa morfismi G :stä kertovaan ryhmään G m , joka kuvaa x + y √ a normiin x 2 – ay 2 , kun taas ydin on elementtien alaryhmä, jolla on normi 1. Geometrisen ytimen taustalla oleva kaavio on isomorfinen additiivinen ryhmä G a ja on G :n geometrisen kerroksen unipotentti radikaali , mutta tätä pelkistettyä geometristen kuitujen alaryhmäkaaviota ei ole määritelty k :n yli (eli se ei esiinny G :n suljetusta alikaaviosta kantakentän k yli ) ja G :n k -unipotentti radikaali on triviaali. G on siis pseudoreduktiivinen k - ryhmä, mutta ei pelkistävä k - ryhmä. Samanlainen konstruktio toimii käytettäessä minkä tahansa epätäydellisen kentän primitiivistä ei-triviaalia, puhtaasti ei-separoituvaa äärellistä laajennusta, jolla on millä tahansa positiivisella ominaisuudella, sillä ainoalla erolla, että kartoitusnormin kaava on hieman monimutkaisempi kuin edellisissä neliöllisissä esimerkeissä.

Yleisemmin ottaen, jos K on kentän k ei-triviaali puhdas ei-separoituva laajennus ja G on mikä tahansa ei-triviaali yhdistetty pelkistävä K -ryhmä , niin Weyl-rajoitus H =R K / k ( G ) on sileästi yhdistetty affiini k -ryhmä, jolla on ( surjektiivinen ) homomorfismi H K :stä G : hen . Tämän K -homomorfismin ydin vähentää ryhmän H geometrisen kuidun unipotenttia radikaalia ja on määrittelemätön k :n yli (eli ei saatu ryhmän H suljetusta alaryhmäkaaviosta ), joten RK / k ( G ) on pseudoreduktiivinen mutta ei pelkistävä. Edellinen esimerkki on erikoistapaus, jossa käytetään kertovaa ryhmää ja laajennusta K = k [ √ a ].

Luokittelu ja eksoottiset esiintymiset

Kentän yli, jonka ominaisuus on suurempi kuin 3, kaikki näennäispelkistävät ryhmät voidaan saada pelkistyvistä ryhmistä "standardirakenteella", joka yleistää edellä kuvatun rakenteen. Vakiokonstruktiossa käytetään apukommutatiivista pseudoreduktiivista ryhmää, joka osoittautuu konstruoinnin tuloksen Cartan-alaryhmäksi , ja yleisen pseudoreduktiivisen ryhmän suurin vaikeus on se, että Cartan-alaryhmien rakenne (jotka ovat aina kommutatiivisia ja pseudoreduktiivinen) on mystinen. Kommutatiiviset pseudoreduktiiviset ryhmät eivät kuulu mihinkään luokitukseen (toisin kuin yhdistetyssä reduktiivisessa tapauksessa, jolle ne ovat tori, ja siksi niihin pääsee Galois-hilojen kautta ), niillä on hyödyllinen kuvaus tilanteesta ominaisuuksien 2 ja 3 ulkopuolella pelkistävissä ryhmissä. jonkin äärellisen (mahdollisesti erottamattoman) kantakentän laajennuksen yli.

Ominaisuuden 2 tai 3 epätäydellisen kentän yli on useita ylimääräisiä pseudoreduktiivisia ryhmiä (kutsutaan eksoottisiksi), jotka johtuvat poikkeuksellisista isogenioista tyyppien B ja C ryhmien välillä ominaisuudessa 2, tyyppiryhmien välillä ominaisuudessa 2 ja tyypin G2 ryhmien välillä. ominaisuus 3 käyttäen samanlaista rakennetta kuin Ree-ryhmien rakenteet . Lisäksi ominaisuudelle 2 on lisämahdollisuuksia, jotka eivät johdu poikkeuksellisista isogenioista , vaan siitä, että yksinkertaisesti yhdistetyille C-tyypin ryhmille (eli symplektisille ryhmille ) on painohilassa (2:lla) jaettavia juuria. Tästä syntyy esimerkkejä, joiden juurijärjestelmä (peruskentän erotettavan sulkemisen yli) on redusoitumaton. Tällaisia ​​esimerkkejä on olemassa jaetun maksimaalisen toruksen ja pelkistymättömän ei-pelkistävän juurijärjestelmän kanssa, jolla on mikä tahansa positiivinen arvo minkä tahansa ominaisuuden 2 epätäydellisen kentän suhteen. Ominaisuuden 3 luokittelu on täydellinen, kuten suurempien ominaisuuksien kohdalla, mutta ominaisuuden 2 luokitus on täydellisin. tapaukselle [k:k^2] =2 (johtuen vaikeuksista, jotka aiheutuvat sekä esimerkeistä pelkistymättömistä juurijärjestelmistä että ilmiöistä, jotka liittyvät tiettyihin säännöllisiin rappeutuneisiin neliömuotoihin, jotka ovat olemassa vain [k:k^2]>2 : lle ). Conradin ja Prasadin [5] myöhemmät työt, jotka perustuvat Conradin, Gabberin ja Prasadin [4] toisessa painoksessa olevaan lisämateriaaliin , täydentävät ominaisuuden 2 luokituksen ohjattuun keskuslaajennukseen saakka tarjoamalla kattavan joukon lisärakenteita, jotka olemassa vain [k:k^2]>2 :lle, mikä perustuu viime kädessä erityisten ortogonaalisten ryhmien käsitykseen, jotka on liitetty ominaisuuden 2 säännöllisiin mutta rappeutuneisiin ja ei täysin viallisiin neliöavaruuksiin.

Muistiinpanot

  1. ↑ Springer, 1998 .
  2. ↑ Gabber, Conrad, Prasad, 2010 .
  3. ↑ Remy, 2011 .
  4. ↑ 1 2 Gabber, Conrad, Prasad, 2015 .
  5. ↑ 1 2 Conrad, Prasad, 2016 .

Kirjallisuus