Ree ryhmä

Ree -ryhmät  ovat Lie-tyyppisiä ryhmiä äärellisessä kentässä , jonka Ree [1] [2] rakensi Dynkin-kaavioiden poikkeuksellisista automorfismista , jotka kääntävät useiden reunojen suunnan, mikä yleistää Suzuki-ryhmät , jotka Suzuki löysi eri menetelmällä. Ryhmät löydettiin viimeisinä äärellisten yksinkertaisten ryhmien äärettömistä perheistä .

Toisin kuin Steinberg-ryhmät , Ree-ryhmiä ei anneta rajallisen kentän yli määritetyn pelkistävän algebrallisen ryhmän pisteillä. Toisin sanoen ei ole olemassa "algebrallista Ree-ryhmää", joka liittyy Ree-ryhmiin samalla tavalla kuin (sanotaan) unitaarit ryhmät liittyvät Steinberg-ryhmiin. Epätäydellisten kenttien päällä on kuitenkin eksoottisia pseudoreduktiivisia algebrallisia ryhmiä , joiden rakentaminen liittyy Ree-ryhmien rakentamiseen, koska ne käyttävät samoja eksoottisia Dynkin-diagrammin automorfismeja, jotka muuttavat juurien pituutta.

Tits [3] määritteli Ree-ryhmät ominaisuuksien 2 ja 3 äärettömien kenttien yli. Tits [4] ja Hee [5] esittelivät äärettömän ulottuvuuden yleistettyjen Kac-Moody-algebroiden Ree-ryhmät .

Rakentaminen

Jos X on Dynkin-kaavio, Chevalley rakensi jaettavia algebrallisia ryhmiä, jotka vastaavat X :ää , antaen erityisesti ryhmät X ( F ) , joiden arvot olivat kentässä F. Näillä ryhmillä on seuraavat automorfismit:

Steinberg- ja Chevalley-ryhmät voidaan rakentaa endomorfismin X ( F ) kiinteiksi pisteiksi kentän F algebralliseen sulkeutumiseen. Chevalley-ryhmille automorfismi on F :n Frobenius-endomorfismi , kun taas Steinberg-ryhmille automorfismi on Frobenius-endomorfismi kerrottuna Dynkin-kaavion automorfismilla.

Ominaisuuden 2 kenttien yli ryhmillä B 2 ( F ) ja F 4 ( F ) ja ominaisuuden 3 kentillä ryhmillä G 2 ( F ) on endomorfismi, jonka neliö on endomorfismi , joka liittyy kentän F Frobenius-endomorfismiin . Karkeasti sanottuna tämä endomorfismi tulee Dynkin-kaavion kertaluvun 2 automorfismista, jossa juurien pituus jätetään huomiotta.

Oletetaan, että kentällä F on endomorfismi , jonka neliö on Frobenius-endomorfismi: . Sitten Ree-ryhmä määritellään alkioiden ryhmäksi g alkaen X ( F ) siten, että . Jos kenttä F on täydellinen, niin ja ovat automorfismeja, ja Ree-ryhmä on X: n ( F ) involuution kiinteiden pisteiden ryhmä .

Siinä tapauksessa, että F on äärellinen kenttä kertalukua p k (jossa p = 2 tai 3), on olemassa Frobenius-neliön endomorfismi juuri silloin, kun k = 2 n + 1 on pariton, jolloin se on ainutlaatuinen. Siten tämä antaa äärelliset Ree-ryhmät aliryhmiksi B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) ja G 2 (3 2 n +1 ), jotka on vahvistettu involuutiolla.

Chevalley-ryhmät, Steinberg-ryhmät ja Ree-ryhmät

Chevalley-, Steinberg- ja Ree-ryhmien välinen yhteys on suunnilleen seuraava. Koska Dynkin-kaavio X , Chevalley rakensi ryhmäkaavion kokonaislukujen Z päälle, jonka arvot äärellisissä kentissä ovat Chevalley-ryhmiä. Yleisesti ottaen voidaan ottaa ryhmän X ( F ) endomorfismin kiinteitä pisteitä , joissa F  on äärellisen kentän algebrallinen sulkeutuminen siten, että jokin aste on Frobenius-endomorfismin tietty aste . Kolme tapausta on mahdollista

Ree-ryhmät tyyppiä 2 B 2

Suzuki [6] löysi ensin tyypin 2 B 2 Ree-ryhmät käyttämällä erilaista lähestymistapaa, ja niitä kutsutaan yleisesti Suzuki-ryhmiksi . Rea huomautti, että ne voidaan rakentaa tyypin B 2 ryhmistä käyttämällä Steinbergin rakenteen muunnelmaa [7] . Ree ymmärsi, että samanlaista konstruktiota voitaisiin soveltaa Dynkin-kaavioihin F 4 ja G 2 , mikä johti kahteen uuteen äärellisten yksinkertaisten ryhmien perheeseen|.

Ree-ryhmät tyyppiä 2 G 2

Ree [1] esitteli tyypin 2 G 2 (3 2 n +1 ) Ree-ryhmät , joka osoitti, että ne ovat kaikki yksinkertaisia ​​paitsi ensimmäinen ryhmä 2 G 2 (3), joka on isomorfinen automorfismiryhmän SL 2 kanssa. (8) . Wilson [8] antoi yksinkertaistetun rakenteen Ree-ryhmistä 7-ulotteisen vektoriavaruuden automorfismeina kentän päällä, jossa on 3 2 n +1 elementtiä, jotka säilyttävät bilineaarisen muodon, trilineaarisen muodon ja bilineaarisen tulon.

Ree-ryhmällä on järjestys , missä

Schur-kerroin on triviaali, kun n  ≥ 1 ja 2 G 2 (3).

Ulompi automorfismiryhmä on syklinen ja siinä on järjestys.

Ree-ryhmää kutsutaan joskus nimellä Ree( q ), R( q ) tai

Ree-ryhmällä on kaksinkertaisesti transitiivinen permutaatioesitys pisteissä ja se toimii Steiner-järjestelmän automorfismeina . Se vaikuttaa myös 7-ulotteiseen vektoriavaruuteen kentässä, jossa on q - elementtejä ja joka on G 2 :n ( q ) aliryhmä.

Ree-ryhmien 2-Sylow-alaryhmät ovat Abelin luokkaa 8. Walterin lause osoittaa, että vain muut ei-Abelin äärelliset yksinkertaiset ryhmät, joissa on Abelin Sylow 2-alaryhmät, ovat projektiivisiä erikoislineaarisia ryhmiä ulottuvuudessa 2 ja Jankon ryhmät J1 . Näillä ryhmillä oli myös rooli ensimmäisen modernin satunnaisen ryhmän löytämisessä. Heillä on involuutiokeskittäjät muotoa Z /2 Z × PSL 2 ( q ) ja tutkiessaan ryhmiä, joilla oli samanlainen involuutiokeskittäjä, Janko löysi satunnaisen ryhmän J 1 . Kleidman [9] löysi heidän suurimmat alaryhmänsä.

Tyypin 2 G 2 Ree-ryhmiä on erittäin vaikea kuvata. Thompson [10] [11] [12] tutki tätä ongelmaa ja pystyi osoittamaan, että tällaisen ryhmän rakenteen määrää piirteen 3 äärellisen kentän jokin automorfismi, ja jos tämän automorfismin neliö on Frobenius-automorfismi, silloin ryhmä on Ree-ryhmä. Hän antoi myös joitain hankalia ehtoja, jotka automorfismi täyttää . Lopuksi Bombieri [13] käytti poissulkemisteoriaa osoittaakseen, että Thompsonin ehdot viittaavat siihen, että kaikissa paitsi 178 pienessä tapauksessa, jotka eliminoitiin tietokoneella ( Andrew Odlyzko ja Hunt). Bombieri tuli tietoiseksi tästä ongelmasta lukemalla artikkelin Gorensteinin luokittelusta [14] , jossa ehdotettiin, että joku ulkopuolinen, ei ryhmäteoreetikko, auttaisi ratkaisemaan ongelman. Angear [15] antoi yhdistetyn yhteenvedon Thompsonin ja Bombierin ratkaisusta tähän ongelmaan.

Ree-ryhmät tyyppiä 2 F 4

Ree-tyyppiset ryhmät esitteli Ree [2] . Ne ovat yksinkertaisia, lukuun ottamatta ensimmäistä , jolle Tits [16] osoitti, että sillä on yksinkertainen indeksin 2 alaryhmä, joka tunnetaan nykyään nimellä Tits group . Wilson [17] antoi yksinkertaistetun Ree-ryhmien konstruktion 26-ulotteisen avaruuden symmetriana kertaluvun 2 2 n +1 kentän yli, joka säilyttää neliömuodon, kuutiomuodon ja osittaisen kertolaskumuodon.

Ree-ryhmällä on järjestys missä . Schur-kerroin on triviaali. Ulompi automorfismiryhmä on syklinen järjestyksessä .

Näillä Ree-ryhmillä on epätavallisia ominaisuuksia, joten parin (B, N) Coxeter-ryhmä ei ole kristallografinen - se on luokkaa 16 oleva dihedraalinen ryhmä. Tissit [18] osoittivat, että kaikki Moufang-polygonit on saatu Ree-ryhmistä tyyppistä .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 12 Ree , 1960 .
  2. ↑ 12 Ree , 1961 .
  3. ↑ Tissit, 1960 .
  4. ↑ Tissit, 1989 .
  5. ↑ Hei, 1990 .
  6. ↑ Suzuki, 1960 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Wilson, 2010 .
  9. ↑ Kleidman, 1988 .
  10. ↑ Thompson, 1967 .
  11. ↑ Thompson, 1972 .
  12. ↑ Thompson, 1977 .
  13. ↑ Bombieri, 1980 .
  14. ↑ Gorenstein, 1979 .
  15. ↑ Enguehard, 1986 .
  16. ↑ Tissit, 1964 .
  17. ↑ Wilson, 2010b .
  18. ↑ Tissit, 1983 .

Kirjallisuus

Linkit