Pari (B, N)
Pari ( B , N ) on Lie-tyyppisen ryhmän rakenne , jonka avulla voimme antaa yhtenäisiä todisteita useista tuloksista sen sijaan, että tarkastelemme suurta määrää todisteita varianteittain. Karkeasti sanottuna pari osoittaa, että kaikki tällaiset ryhmät ovat samanlaisia kuin täydellinen lineaarinen ryhmä kentän yli. Parit esitteli matemaatikko Jacques Tits , ja siksi niitä kutsutaan joskus Tits-järjestelmiksi .
Määritelmä
Pari ( B , N ) on ryhmän G alaryhmien B ja N pari, joka täyttää aksioomit [1]
- Ryhmien B ja N liitto muodostaa G :n .
- Ryhmien B ja N leikkauspiste H on N :n normaali alaryhmä .
- Ryhmän W = N/H muodostaa luokkaa 2 olevien elementtien w i joukko S i :lle jossain ei-tyhjässä joukossa I.
- Jos w i on S :n alkio ja w on mikä tahansa W :n alkio , niin w i Bw sisältyy Bw i wB :n ja BwB :n liittoon .
- Ei w i -generaattori normalisoi B :tä .
Määritelmän ideana on, että B on täyden lineaarisen ryhmän GL n ( K ) ylempien kolmimatriisien analogi, H on diagonaalimatriisien analogi ja N on normalisaattorin H analogi .
Alaryhmää B kutsutaan joskus Borel-alaryhmäksi , H :tä kutsutaan joskus Cartan-alaryhmäksi ja W : ksi Weil-ryhmäksi . Pari ( W , S ) on Coxeter-järjestelmä .
Generaattorien lukumäärää kutsutaan arvoksi .
Esimerkkejä
- Oletetaan, että G on mikä tahansa kaksoistransitiivinen permutaatioryhmä joukossa X , jossa on enemmän kuin kaksi alkiota. Olkoon B G :n aliryhmä, joka jättää pisteen x paikalleen , ja olkoon N aliryhmä, joka jättää kaksi pistettä x ja y paikoilleen tai vaihtavat paikkoja . Aliryhmä H koostuu sitten elementeistä, jotka jättävät sekä pisteet x että y paikoilleen, ja W :n kertaluku on 2 ja sen ei-triviaalielementti permuoi x ja y .
- Kääntäen, jos G :llä on pari (B, N), jonka arvo on 1, niin G :n toiminta B :n koseteihin on kaksinkertaisesti transitiivinen . Siten BN-parit, joiden arvo on 1, ovat enemmän tai vähemmän samoja kuin kaksoispermutaatiotoimenpiteet useamman kuin 2 elementin joukossa.
- Oletetaan, että G on täydellinen lineaarinen ryhmä GL n ( K ) kentän K yli . Otetaan ylemmät kolmiomatriisit B : ksi , diagonaalimatriisit H :ksi ja yleiset permutaatiomatriisit N : ksi , ts . matriiseja, joissa on täsmälleen yksi nollasta poikkeava elementti kussakin sarakkeessa ja jokaisessa rivissä. On olemassa n − 1 generaattoria w i , joita edustavat diagonaalimatriisin rivit permutaatiolla saadut matriisit.
- Yleisemmin millä tahansa Lie-tyypin ryhmällä on BN-pari.
- Paikallisen kentän ylittävällä pelkistävällä algebrallisella ryhmällä on BN-pari, jossa B on Iwahori-alaryhmä .
Ryhmien ominaisuudet parilla BN
Kartta w - BwB on isomorfismi ryhmän W elementtien joukosta ryhmän G kaksoisosettien joukkoon suhteessa B :hen . Luokat muodostavat Bruhat-hajotelman G = BWB .
Jos T on S :n osajoukko , niin olkoon W ( T ) T:n osajoukon muodostama W : n aliryhmä . Määrittelemme G ( T ) = BW ( T ) B : n T vakioparaboliseksi alaryhmäksi ] . G :n alaryhmät, jotka sisältävät B :hen konjugoituja alaryhmiä, ovat parabolisia alaryhmiä [2] . B :n kosetit ovat nimeltään Borel (tai minimaaliset paraboliset alaryhmät). Nämä ovat täsmälleen tavallisia parabolisia alaryhmiä.
Sovellukset
BN-parien avulla voidaan todistaa, että monet Lie-tyyppiset ryhmät ovat alkumodulokeskuksia. Tarkemmin sanottuna, jos G :llä on BN -pari siten, että B on ratkaistavissa , B :n kaikkien kosettien leikkauspiste on triviaali, eikä W :n generaattorijoukkoa voida hajottaa kahdeksi ei-tyhjäksi työmatkajoukoksi, niin G on yksinkertainen, jos se on täydellinen (on sama kuin sen kommutaattori ). Käytännössä kaikki nämä ehdot, lukuun ottamatta ryhmän G täydellisyyttä , on helppo tarkistaa. Ryhmän G täydellisyyden tarkistaminen vaatii monimutkaisia laskelmia (ja jotkut pienet Lie-tyyppiset ryhmät eivät ole täydellisiä). Kuitenkin osoittaa, että ryhmä on täydellinen, on yleensä paljon helpompaa kuin osoittaa, että ryhmä on yksinkertainen.
Muistiinpanot
- ↑ Bourbaki, 1972 , s. 27.
- ↑ Bourbaki, 1972 , s. 34.
Kirjallisuus
- Nicholas Bourbaki . Valheryhmät ja valhealgebrat: luvut 4–6. - Springer, 2002. - (Matematiikan elementit). — ISBN 3-540-42650-7 .
- N. Bourbaki . §2. Tits system // Ryhmät ja Lie-algebrat: Coxeter-ryhmät ja Tits-järjestelmät, juurijärjestelmän heijastusten synnyttämät ryhmät / käännös. ranskasta A.I. Kostrikin ja A.N. Tyurin. - Moskova: "Mir", 1972. - S. 26-38. — (Matematiikan elementit).
- Jean-Pierre Serre . puita. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44237-5 .