Valhetyyppinen ryhmä

Lie -tyypin lauseryhmä tarkoittaa yleensä äärellistä ryhmää , joka liittyy läheisesti reduktiivisen lineaarisen algebrallisen ryhmän rationaalisten pisteiden ryhmään, jolla on arvot äärellisessä kentässä . Termillä "Lie-tyyppinen ryhmä" ei ole yleisesti hyväksyttyä tarkkaa määritelmää [1] , mutta tärkeällä Lie-tyypin äärellisillä yksinkertaisilla ryhmillä on tarkka määritelmä ja ne muodostavat suurimman osan ryhmistä yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokituksessa .

Nimi "Lie-tyyppiset ryhmät" kuvastaa läheistä yhteyttä (äärettömiin) Lie-ryhmiin , koska kompaktia Lie-ryhmää voidaan pitää pelkistettyjen lineaaristen algebrallisten ryhmien rationaalisina pisteinä reaalilukukentän yli .

Klassiset ryhmät

Ensimmäinen lähestymistapa tähän kysymykseen oli niin kutsuttujen klassisten ryhmien määrittely ja yksityiskohtainen tutkimus äärellisillä ja muilla Jordanin kentillä [2] . Näitä ryhmiä tutkivat Leonard Dixon ja Jean Dieudonné . Emil Artin tutki tällaisten ryhmien järjestyksiä luokitellakseen yhteensattumia.

Klassinen ryhmä on karkeasti sanottuna erityinen lineaarinen , ortogonaalinen , symplektinen tai unitaarinen ryhmä. Näistä ryhmistä on useita pieniä muunnelmia, jotka saadaan ottamalla johdettuja alaryhmiä tai keskeisiä tekijäryhmiä , mikä antaa projektiiviset lineaariset ryhmät . Ryhmiä voidaan rakentaa äärellisten kenttien (tai muiden kenttien) päälle samalla tavalla kuin ne rakennetaan reaalilukujen päälle. Ne vastaavat Chevalley- ja Steinberg -ryhmien sarjoja A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n [3] .

Chevalley-ryhmät

Chevalley-ryhmät ovat pohjimmiltaan valheryhmiä rajallisten kenttien päällä. Teoriaa käsiteltiin yksityiskohtaisesti algebrallisten ryhmien teoriassa ja Chevalleyn [4] Lie-algebroiden teoriaa koskevissa teoksissa, joiden avulla Chevalley-ryhmien käsite erotettiin . Chevalley rakensi Chevalley- perustan (samanlainen kuin kokonaislukumuotoja, mutta äärellisten kenttien yli) kaikille monimutkaisille yksinkertaisille Lie-algebroille (tai pikemminkin niiden universaaleille vaippaalgebroille ), joita voidaan käyttää vastaavien kokonaislukujen algebrallisten ryhmien määrittämiseen. Erityisesti hän saattoi ottaa pisteitä arvoilla missä tahansa äärellisessä kentässä. Lie-algebroille A n , B n , C n ja D n tämä antaa tunnetut klassiset ryhmät, mutta sen konstruktio antaa myös ryhmät, jotka liittyvät poikkeuksellisiin Lie-algebroihin E 6 , E 7 , E 8 , F 4 ja G 2 . Dixon oli jo rakentanut yhden G 2 -tyyppisistä ryhmistä (joita joskus kutsutaan Dixon-ryhmiksi ) vuonna 1905 [5] ja yhden E 6 -tyypin ryhmistä vuonna 1961 [6] .

Steinberg-ryhmät

Chevalley-konstruktio ei anna kaikkia tunnettuja klassisia ryhmiä - jäljellä on yhtenäisiä ryhmiä ja jakamattomia ortogonaalisia ryhmiä . Steinberg [7] löysi Chevalley-rakenteen muunnelman, joka antaa näille ryhmille ja kaksi uutta perhettä 3 D 4 ja 2 E 6 . Toinen näistä perheistä löydettiin lähes samaan aikaan, täysin eri näkökulmasta, Tits [8] . Tämä konstruktio yleistää tavanomaisen yhtenäisen ryhmän konstruktion yleisestä lineaarisesta ryhmästä.

Unitaarinen ryhmä syntyy seuraavasti: yleisellä lineaarisella kompleksilukujen ryhmällä on kaavioautomorfismi , joka saadaan kääntämällä Dynkin-diagrammi A n (joka vastaa käänteisen transponoidun matriisin saamista), ja kentän automorfismi , joka saadaan kompleksilla konjugaatio . Unitaarinen ryhmä on näiden kahden automorfismin tulon kiinteä pisteryhmä.

Samalla tavalla monilla Chevalley-ryhmillä on automorfismidiagrammit, jotka on generoitu niiden Dynkin-kaavioiden automorfismeilla, ja kenttäautomorfismit, jotka on generoitu äärellisen kentän automorfismeilla. Analogisesti unitaaristen ryhmien tapauksen kanssa Steinberg rakensi ryhmien perheen ottamalla kaavioautomorfismin ja kenttäautomorfismin tulon kiinteät pisteet.

Tämä antaa:

Tyypin 3 D 4 ryhmillä ei ole analogeja reaalilukuihin nähden, koska kompleksiluvuilla ei ole kertaluvun 3 automorfismia. Kaavion D 4 symmetriat muodostavat kolminaisuuden .

Suzuki-Rie ryhmät

Michio Suzuki [9] löysi uusia äärettömiä ryhmiä, jotka eivät ensi silmäyksellä liity tunnettuihin algebrallisiin ryhmiin. Rimhak Rhee [10] [11] tiesi, että algebrallisella ryhmällä B 2 on ominaisuuden 2 "komplementaarinen" automorfismi, jonka neliöllä on Frobenius-endomorfismi . Hän havaitsi, että jos ominaisuuden 2 äärellisessä kentässä on myös automorfismi, jonka neliössä on Frobenius-kartta, niin Steinbergin konstruktion analogi antaa Suzuki-ryhmiä. Kentät, joilla on tällainen automorfismi, ovat kertaluvun 2 2 n + 1 kenttiä ja vastaavat ryhmät ovat Suzuki-ryhmiä

2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz(2 2 n +1 ).

(Tarkasti ottaen ryhmää Suz(2) ei pidetä Suzuki-ryhmänä, koska se ei ole yksinkertainen - se on Frobenius-ryhmä luokkaa 20.). Ree onnistui löytämään kaksi uutta perhettä

2 F 4 (2 2 n +1 )

ja

2 G 2 (3 2 n +1 )

yksinkertaisia ​​ryhmiä käyttämällä sitä tosiasiaa, että F 4 :llä ja G 2 :lla on lisäautomorfismeja ominaisuuksilla 2 ja 3. (Karkeasti sanottuna ominaisuudella p voidaan jättää huomioimatta Dynkin-kaavioiden monikertaisuuden p reunoilla olevat nuolet.) Pienemmät ryhmät 2 F 4 (2) tyypin 2 F 4 eivät ole yksinkertaisia, vaan niillä on yksinkertaisia ​​alaryhmiä indeksillä 2, joita kutsutaan Tits-ryhmiksi (nimetty matemaatikko Jacques Titsin mukaan ). Tyypin 2 G 2 pienin ryhmä 2 G 2 (3) ei ole yksinkertainen, mutta sillä on yksinkertainen indeksin 3 normaali alaryhmä, joka on isomorfinen A 1 :n (8) kanssa.

Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelussa Ree-ryhmät

2 G 2 (3 2 n +1 )

ovat ryhmiä, joiden rakennetta on vaikea selittää yksiselitteisesti. Näillä ryhmillä oli suuri rooli ensimmäisen modernin satunnaisen ryhmän löytämisessä. Ryhmillä on involuutiokeskittäjät muotoa Z /2 Z × PSL(2, q ), kun q = 3 n , ja tutkiessaan ryhmiä, joissa on muotoa Z /2 Z × PSL(2, 5) oleva involuutiokeskittäjä, Janko löysi satunnainen ryhmä J1 .

Suzuki-ryhmät ovat vain äärellisiä ei-Abelin yksinkertaisia ​​ryhmiä, joiden järjestys ei ole jaollinen kolmella. Niillä on kertaluku 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ) .

Yhteys äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin

Lie-tyypin äärelliset ryhmät olivat matemaatikoiden ensimmäisten joukossa syklisten , symmetristen ja vuorottelevien ryhmien jälkeen. Projektiiviset erityiset lineaariset ryhmät yksinkertaisten äärellisten kenttien yli PSL(2, p ) rakensi Évariste Galois 1830-luvulla. Lie-tyyppisten äärellisten ryhmien systemaattinen tutkimus alkoi Camille Jordanin lauseella , jonka mukaan projektiivinen erikoislineaarinen ryhmä PSL(2, q ) on prime:lle . Tämä lause on yleistetty projektiivisiin ryhmiin, joilla on suurempi ulottuvuus, ja se antaa tärkeän äärellisten yksinkertaisten ryhmien äärettömän perheen PSL( n , q ) . Leonard Dixon tutki muita klassisia ryhmiä 1900-luvun alussa. 1950-luvulla Claude Chevalley tajusi, että sopivan uudelleenmuotoilun jälkeen monet puoliyksinkertaisia ​​Lie-ryhmiä koskevat lauseet sallivat analogin algebrallisille ryhmille mielivaltaisen kentän k yli , mikä johti ryhmien rakentamiseen, jotka tunnetaan nykyään Chevalley-ryhminä . Lisäksi, kuten kompaktien yksinkertaisten Lie-ryhmien tapauksessa, vastaavat ryhmät osoittautuvat lähes yksinkertaisiksi abstrakteiksi ryhmiksi ( Titsin yksinkertaisuuslause ). Vaikka jo 1800-luvulla tiedettiin, että on olemassa muita äärellisiä yksinkertaisia ​​ryhmiä (esim. Mathieu-ryhmät ), vähitellen kehittyi uskomus, että melkein kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät voidaan luetella sopivalla Chevalley-rakenteen laajennuksella sekä syklisillä ja vuorottelevilla ryhmillä. ryhmiä. Lisäksi poikkeuksilla, satunnaisilla ryhmillä , on monia yhteisiä ominaisuuksia Lie-tyyppisten äärellisten ryhmien kanssa, ja erityisesti niitä voidaan rakentaa ja kuvata niiden geometrian perusteella tissien merkityksessä.

Tämä luottamus muuttui lauseeksi - yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokitteluksi . Äärillisten yksinkertaisten ryhmien luettelon tarkastelu osoittaa, että Lie-tyyppiset ryhmät äärellisessä kentässä sisältävät kaikki rajalliset yksinkertaiset ryhmät paitsi sykliset ryhmät, vuorottelevat ryhmät, Tits-ryhmä ja 26 satunnaista yksinkertaista ryhmää .

Lie-tyyppiset pienet ryhmät

Yleensä äärellinen ryhmä, joka liittyy yksinkertaisesti yhdistetyn yksinkertaisen algebrallisen ryhmän endomorfismiin, on yksinkertaisen ryhmän universaali keskuslaajennus, joten se on täydellinen ryhmä (eli sama kuin sen kommutantti ) ja sillä on triviaali Schur-kerroin . Jotkut yllä olevien perheiden pienemmistä ryhmistä eivät kuitenkaan ole täydellisiä tai niiden Schur-kerroin on "odotettua" suurempi.

Tapauksia, joissa ryhmä ei ole täydellinen

Tapaukset, joissa ryhmä on täydellinen, mutta Schur-kerroin on odotettua suurempi (lauseen " Schur-kertoimella on lisätekijäryhmä ..." alapuolella, joten yksinkertaisen ryhmän Schur-kerroin on ... eikä . .. " on lyhennetty muotoon " Schur-kertoimella on ..., järjestyksessä ... eikä ... " ):

Eri pienten Lie-tyyppisten ryhmien (ja vuorottelevien ryhmien) välillä on useita hämmentäviä "satunnaisia" isomorfismeja. Esimerkiksi ryhmät SL(2, 4), PSL(2, 5) ja vuorotteleva 5 elementin ryhmä ovat isomorfisia.

Täydellinen luettelo näistä poikkeuksista on kohdassa List of Finite Simple Groups . Monet näistä erityisominaisuuksista liittyvät tiettyihin yksinkertaisiin satunnaisiin ryhmiin.

Vuorottelevat ryhmät käyttäytyvät joskus ikään kuin ne olisivat valhetyyppisiä ryhmiä kentän päällä, jossa on yksi elementti . Joillakin pienistä vuorottelevista ryhmistä on myös poikkeuksellisia ominaisuuksia. Vuorottelevilla ryhmillä on tavallisesti 2 -kertainen ulompi automorfismiryhmä , mutta 6 elementin vuorottelevalla ryhmällä on 4-kertainen ulompi automorfismiryhmä . Vuorottelevien ryhmien Schur-kerroin on yleensä luokkaa 2, mutta 6 tai 7 elementin ryhmien Schur-kerroin on kertaluokkaa 6 .

Merkintäongelmat

Valitettavasti Lie-tyyppisille äärellisille ryhmille ei ole vakiintunutta merkintää, ja kirjallisuus sisältää kymmeniä yhteensopimattomia ja hämmentäviä merkintäjärjestelmiä näille ryhmille.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ mathoverflow-keskustelu . Haettu 23. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 9. maaliskuuta 2017.
  2. ↑ Jordania, 1870 .
  3. ↑ Venäjänkielisessä kirjallisuudessa Steinbergin lukeminen on yleisempää, mutta tämän sukunimen lukemisesta ei ole yksimielisyyttä, yhdestä artikkelista löytyy sekä Steinbergin että Steinbergin lukemia samanaikaisesti.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Tissit, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Ree, 1960 .
  11. ↑ Ree, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , s. xi Arkistoitu 21. syyskuuta 2013 Wayback Machineen

Kirjallisuus