Pfaffian

Vinosymmetrisen matriisin Pfaffian on jokin polynomi elementeissään, jonka neliö on yhtä suuri kuin tämän matriisin determinantti . Kuten determinantti, Pfaffian on nollasta poikkeava vain vinosymmetrisille matriiseille, joiden koko on , jolloin sen aste on n . $2n\ kertaa 2n$

Esimerkkejä

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\ 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Määritelmä

Olkoon merkitsee joukon kaikkien osioiden joukkoa järjestämättömiksi pareiksi ( sellaisia osioita on yhteensä). Jako voidaan kirjoittaa $\Pi$ $\{1,2,\pisteet ,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alpha \in \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

missä ja . Päästää $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

tarkoittaa vastaavaa permutaatiota ja on permutaation merkki . Se on helppo nähdä, että se ei riipu valinnasta . ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$ ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$

Olkoon vinossa -symmetrinen matriisi. Osiointia varten määrittelemme $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\ kertaa 2n$ $\alpha$

A_{\alpha }=\operaattorin nimi {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Nyt voimme määritellä matriisin A Pfaffian muodossa

\operaattorinimi {Pf}(A)=\sum _{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

Parittoman n :n vinosymmetrisen kokomatriisin Pfaffian on määritelmän mukaan nolla. $n\ kertaa n$

Rekursiivinen määritelmä

Kokomatriisin Pfaffian oletetaan olevan 1; Vinosymmetrisen matriisin A , jonka koko on at , Pfaffian voidaan määritellä rekursiivisesti seuraavasti: $0\times 0$ $2n\ kertaa 2n$ $n>0$

\operaattorinimi {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\operaattorinnimi {Pf} (A_{{\hattu {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

jossa indeksi voidaan valita mielivaltaisesti, on Heaviside-funktio , tarkoittaa matriisia A ilman i- ja j - saraketta ja -riviä. $i$ ${\näyttötyyli \theta (ij)}$ ${\displaystyle A_{{\hattu {\imath )){\hattu {\jmath ))))$

Vaihtoehtoinen määritelmä

Harkitse vinosymmetristä matriisia bivektoria : $2n\ kertaa 2n$ $A=\{a_{{ij}}\}$

\omega =\sum _{{i<j}}a_{{ij}}\;e_{i}\wedge e_{j}.

missä on vakioperuste kohdassa . Sitten Pfaffian annetaan seuraavalla yhtälöllä: $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{{2n}}\}$ ${\mathbb R}^{{2n))$

{\frac {1}{n!)}}\omega ^{{\wedge n}}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \ kiila e_{{2n}},

jossa tarkoittaa n kopion ulkotuloa . $\omega ^{{\wedge n}}$ $\omega$

Ominaisuudet

Vinosymmetrinen matriisi ja mielivaltainen matriisi : $2n\ kertaa 2n$ $A$ $2n\ kertaa 2n$ $B$

${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

Lohkon diagonaalimatriisille

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf} }(A_{2}).

Mielivaltaiselle matriisille : $n\ kertaa n$ $M$

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\det M .

Historia

Termin "Pfaffian" otti käyttöön Cayley [1] ja se nimettiin saksalaisen matemaatikon Johann Friedrich Pfaffin mukaan .

Muistiinpanot

↑ Joidenkin matematiikan sanojen varhaisimmat tunnetut käyttötavat . Haettu 29. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2009. (määrätön)

Kirjallisuus

Vyaly M. N. Pfaffians luetteloongelmiin // Kesäkoulu "Moderni matematiikka". – 2004.
Hitaat M. N. Pfaffit tai merkkien asettamisen taito ... // Matemaattinen koulutus . - 2005. - Nro 9 .