Yhdistetty kaksoispiste

Yhdistetty kaksoispiste ( Aleksandrovin kaksoispiste ) on kahden tietyntyyppisen pisteen äärellinen topologinen avaruus ; yksinkertaisin mielekäs esimerkki ei- Hausdorffin topologisesta avaruudesta yleisessä topologiassa .

Se määritellään topologiseksi tilaksi , joka muodostuu kahden elementin ("avoin") ja ("suljettu") joukosta, jonka topologia on annettu seuraavassa luettelossa kolmesta avoimesta osajoukosta : $\circ$ $\bullet$

$\varno mitään$ - tyhjä sarja ;
$\{\circ \}$ - yhden elementin joukko on "avoin";
$\{\circ ,\bullet \}$ - kaikki tila.

Tyhjän joukon ja koko kaksoispisteen lisäksi sen avoin osajoukko on vain , ja sen suljettu osajoukko on vain . Näemme, että pisteellä ei ole muuta lähialuetta kuin koko avaruus; siksi avaruus rikkoo T1-aksiooman , erityisesti, ei ole Hausdorff. Näemme myös, että piste ei ole suljettu osajoukko. $\{\circ \}$ $\{\bullet \}$ $\bullet$ $\circ$

Kuvaus topologisesta avaruudesta yhdistettyyn kaksoispisteeseen on jatkuvaa , jos ja vain, jos pisteen esikuva on avoin kohdassa (tai vastaavasti pisteen esikuva on suljettu kohdassa ). Tämä ominaisuus tasaa linkitettyjen kaksoispistepisteiden nimet. Yhdistetty kaksoispiste on yhdistetty ja myös polkuun yhdistetty tila . $F$ $X$ $F^{{-1}}(\circ )$ $\{\circ \}$ $X$ $F^{{-1}}(\bullet )$ $\{\bullet \}$ $X$

Alexanderin kuutio , yhdistetyn kaksoispisteen potenssi , on universaali tila -avaruuksille , joiden paino on , eli mikä tahansa -painoavaruus on homeomorfinen aliavaruuden kanssa [1] . $F^{m}$ $T_{0}$ $m$ $m\geqslant \aleph _{0}$ $T_{0}$ $m$ $F^{m}$

Muistiinpanot

↑ Engelking, 1986 , Lause 2.3.26, s. 138.

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. — ISBN 5-354-00822-0 .
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.