Systolinen epätasa-arvo

Systolinen epätasa -arvo - seuraavan muodon epätasa-arvo

\operaattorinnimi {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operaattorinnimi {vol} M)),

jossa on suljettu- ulotteinen Riemannin monisto tietyssä luokassa, on lyhimmän ei-kutistuvan suljetun käyrän pituus (ns. systole ) ja on sen tilavuus. $M$ $n$ $\operaattorin nimi {sys} M$ $M$ $M$ $\operaattorin nimi {vol} M$

Tietyksi luokaksi otetaan yleensä moniston topologinen tyyppi, mutta joskus ajatellaan esimerkiksi Riemannin monistojen luokkaa konformisesti vastaavana annettua.

Monille topologisille monistotyypeille, esimerkiksi pallon ja ympyrän tulolle, systolinen epäyhtälö ei päde - käytössä on Riemannin metriikka mielivaltaisen pienellä tilavuudella ja mielivaltaisen pitkällä systolilla. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$

Esimerkkejä

Loewnerin epäyhtälö on optimaalinen systolinen epäyhtälö kaksiulotteiselle torukselle , jonka vakio on. $\mathbb {T} ^{2}$ ${\tfrac {\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}}$
Poon epäyhtälö on optimaalinen systolinen epäyhtälö todelliselle projektiivitasolle vakiolla . ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2))$ ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\pi }{2))))$
Optimaalinen vakio tunnetaan myös Klein-pullosta ; hän on yhtä suuri kuin . [yksi] ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2^{3/4))))$
Systolinen epäyhtälö pätee mittareille , jotka vastaavat kanonista metriikkaa kaikkien ulottuvuuksien toruksessa ja projektioavaruudessa. Lisäksi kanonisen metriikan tasa-arvo saavutetaan.
Gromovin epätasa-arvo olennaisille lajikkeille [2] $\operaattorinnimi {sys} M\leqslant c_{n}\cdot {\sqrt[{n}]{\operaattorinnimi {vol} M)),$
- Erityisesti systolinen epäyhtälö pätee kaikille suljetuille pinnoille palloa lukuun ottamatta sekä kaikenkokoisille tori- ja projektioavaruksille.
- Tiedetään, että optimaalinen vakio ei ylitä . [3] $c_n$ ${\sqrt[{n}]{n!)}}={\tfrac {n}{e}}+o(n)$
- Esimerkki projektiivisestä avaruudesta , jossa on kanoninen metriikka, antaa alarajan , joka kasvaa ; ehkä tämä on optimaalinen vakio. $c_n$ ${\sqrt {n}}$

Muistiinpanot

↑ C. Bavard. "Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein". Matematiikka. Ann. 274.3 (1986), 439-441.
↑ Gromov, M. (1983), Filling Riemannian monifolds, J. Diff. Geom. T. 18: 1–147
↑ Alexander Nabutovski, Gromovin systolisen epäyhtälön vakioiden lineaariset rajat ja siihen liittyvät tulokset. arXiv : 1909.12225