Matriisijälki

Matriisin jäljitys on operaatio, joka kuvaa neliömatriisien tilan kenttään , jolle matriisi määritellään (reaalimatriisit reaalilukukenttään, kompleksiset matriisit kompleksilukujen kenttään ). Matriisin jälki on matriisin päädiagonaalin elementtien summa, eli jos matriisin alkiot ovat , niin sen jälki on . Matriiseja, joissa on nollajälki, kutsutaan tracelessiksi (englanniksi traceless tai tracefree ) [1] . $a_{{ij}}$ $A$ ${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A=\sum _{i}a_{{ii}}$

Matemaattisissa teksteissä jäljen ottamista varten on kaksi nimitystä: ( englannin kielestä trace - jälki) ja ( sitä. Spur - jälki). $\mathop {\rm {tr))\;A$ ${\mathop {{\rm {Sp))))\;A$

Tensorilaskennassa toisen asteen tensorin jälki (kerran kovariantti ja kerran kontravariantti) on sen diagonaalielementtien summa. Kovarianssista ja kontravarianssista riippumatta toisen asteen tensorin jälki lasketaan tensorin ja metrisen tensorin kaksoisskalaaritulona ja on ensimmäinen invariantti : . ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$

Määritelmä

Neliön kokoisen matriisin jälki ymmärretään seuraavasti: $A$ $n\ kertaa n$

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{ n,n},$

missä ovat päädiagonaalin elementit : ${\displaystyle a_{i,i))$

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\ väri {punainen}{a_{i,i}}$ .

Ominaisuudet

Lineaarisuus . ${\mathop {{\rm {tr))))\;(\alpha A+\beta B)=\alpha {\mathop ({\rm {tr))))\;A+\beta {\mathop ({\) rm {tr}}}}\;B$
${\mathop {{\rm {tr)))\;(AB)={\mathop {{\rm {tr))))\;(BA)$ . Seuraus: jäljitys on sama kaikille samanlaisille matriiseille: . $\mathop {\rm {tr)) \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr)) \;A$
${\mathop {{\rm {tr}}}}\;A={\mathop {{\rm {tr}}}}\;A^{{\mathrm {T}}}$ , jossa tarkoittaa transponointitoimintoa . $\mathrm{T}$
$\ln \det A={\mathop {{\rm {tr))))\;\ln A$ .
Jos matriisien A ja B tensoritulo , niin . $Joskus B$ ${\mathop {{\rm {tr))))\;A\otimes B=({\mathop {{\rm {tr))))\;A)({\mathop {{\rm {tr)) }}\;B)$
Matriisin jälki on yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen summa .
Neliömatriisin determinantti voidaan ilmaista tämän matriisin potenssien jälkinä, jotka eivät ylitä . Esimerkiksi . $n\ kertaa n$ $n$ $\det A_{{3\times 3}}={\frac {1}{6}}\left(({\mathop {{\rm {tr}}}}A)^{3}-3{\mathop {{\rm {tr}}}}A\cdot {\mathop {{\rm {tr}}}}A^{2}+2{\mathop {{\rm {tr}}}}A^{3 }\oikea)$

Geometrinen ominaisuus

${\mathop {{\rm {det))))(E+G\varepsilon )=1+{\mathop ({\rm {tr))))G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

missä E on identiteettimatriisi, ε on äärettömän pieni luku. Toisin sanoen äärettömän pieni lineaarimuunnos muuttaa tilavuutta määrällä, joka on verrannollinen tämän muunnoksen generaattorin jälkiin ensimmäisessä järjestyksessä pienessä parametrissaan. Toisin sanoen tilavuuden muutosnopeus tällaisen muunnoksen aikana on yhtä suuri kuin sen generaattorin jälki.

Seuraukset:
- ${\mathop {{\rm {det}}}}\ {\mathop {{\rm {exp}}}}(G\alpha )=1+{\mathop {{\rm {tr}}}}G\ \alpha \$ pienelle α:lle
- Jotta muunnokset eivät muuta tilavuutta, riittää, että niiden generaattorit ovat jäljittämättömiä.

Katso myös

Trace (kenttäteoria)

Muistiinpanot

↑ Lisovski, Fedor Viktorovich. Uusi englanti-venäläinen elektroniikan sanakirja: kahdessa osassa, noin 100 000 termiä ja 7 000 lyhennettä . - Moskova: ABBYY Press, 2009. - 2 osaa s. ISBN 9785391000051 , 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Trace of a square matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4