Satunnainen kompakti setti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Satunnainen kompakti joukko on satunnaismuuttuja , jonka arvot ovat kompakteissa joukoissa . Satunnaisia kompakteja joukkoja käytetään satunnaisten dynaamisten järjestelmien attraktoreiden tutkimuksessa .

Määritelmä

Antaa olla joukko kaikki kompakti osajoukkoja . Hausdorffin metriikka voidaan määritellä : $\mathcal{K}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathcal{K}$ $h$

h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2 }\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.

Tällaisella mittarilla joukosta tulee täydellinen erotettava metriavaruus . Vastaavat avoimet osajoukot muodostavat joukon Borel -algebran . $h$ $\mathcal{K}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}_{K}$ $\mathcal{K}$

Tällöin satunnainen kompakti joukko on mitattavissa oleva funktio jostain todennäköisyysavaruudesta mitattavaan avaruuteen . Satunnaiset kompaktit joukot ovat tässä mielessä samat kuin Matheronin satunnaiset suljetut joukot [1] . Siksi niiden jakauma annetaan todennäköisyyksien avulla $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ $({\mathcal {K}),{\mathfrak {B}}_{K})$

\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K)).

Satunnaisen kompaktin kuperan joukon jakauman antaa myös kaikkien inkluusiotodennäköisyyksien järjestelmä $\mathbf {P} (X\alajoukko K).$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Sille määritetään todennäköisyys , joka tyydyttää suhteen. Sitten kattavuusfunktio voidaan määrittää kaavalla Peittofunktio ottaa arvot välillä ja ja voidaan tulkita indikaattorifunktion odotukseksi $K=\{x\}$ $\mathbf {P} (x\in X)$ $\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).$ $p_{X}$ $p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$ $0$ $yksi$ $\mathbf {1} _{X}(x):$ $p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$

Kaikkien c :n joukkoa kutsutaan kantaluvuksi $b_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)>0$ $X.$

Kaikkien joukkoa kutsutaan ytimeksi , kiinteiden pisteiden joukkoksi tai välttämättömäksi minimiksi . Jos on sarja itsenäisiä identtisesti jakautuneita satunnaisia kompakteja joukkoja, niin melkein varmasti ja suppenee lähes varmasti $k_{X}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2))$ $p_{X}(x)=1$ $e(X)$ $X_{1},X_{2},\ldots$ $\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i))$ $e(X).$

Muistiinpanot

↑ Matheron, J. (1978) Satunnaisjoukot ja integraaligeometria, käännös. englannista, M.: Mir.

Kirjallisuus

Matheron, J. (1978) Satunnaisjoukot ja integraaligeometria, trans. englannista, M.: Mir.
Stoyan D. ja H. Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.