Konfokaaliset kartioprofiilit

Konfokaaliset kartioleikkaukset - geometriassa kartioleikkaukset , joilla on samat polttopisteet . Koska ellipseillä ja hyperboleilla on kaksi polttopistettä, on olemassa konfokaalisia ellipsejä ja konfokaalisia hyperboleja , ja ellipsi ja hyperbolit voivat olla konfokaalisia toisiinsa nähden. Siinä tapauksessa, että ellipsien perhe on konfokaalinen hyperboliperheen kanssa, jokainen ellipsi leikkaa ortogonaalisesti jokaisen hyperbolin. Paraabeleilla on vain yksi fokus, joten pidä konfokaalisina ne paraabelit, joilla on yhteinen fokus ja sama symmetria-akseli. Siksi mikä tahansa symmetria-akselin ulkopuolella oleva piste sijaitsee kahdella konfokaalilla paraabelilla, jotka leikkaavat toisensa suorassa kulmassa.

Konfokaalisen kartioleikkauksen käsite voidaan yleistää kolmiulotteiseen avaruuteen ottamalla huomioon konfokaaliset nelikulmat .

Konfokaaliset ellipsit

Ellipsin, joka ei ole ympyrä, määrää yksiselitteisesti polttopisteiden sijainti ja pääakselin ulkopuolella oleva piste. Yhtälöllä voidaan kuvata nippu konfokaalisia ellipsejä, joissa on polttopisteitä $F_{1},\;F_{2}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c\ ,$

jossa puolipääakseli on parametri (polttoväli määräytyy yksiselitteisesti polttopisteiden sijainnin mukaan). Koska ellipsin piste määrittelee yksiselitteisesti arvon , niin $a$ $c$ $a$

kahdella ellipsillä ei ole yhteisiä pisteitä.

Konfokaaliset hyperbolit

Hyperbola määräytyy yksiselitteisesti polttopisteiden ja symmetria-akselien ulkopuolella olevan pisteen sijainnin perusteella. Yhtälöllä voidaan kuvata nippu konfokaalisia hyperboleja, joissa on fokuksia $F_{1},\;F_{2}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ , \quad 0<a<c\ ,$

jossa puolipääakseli on parametri (polttoväli määräytyy yksiselitteisesti polttopisteiden sijainnin mukaan). Koska hyperbelin piste määrittää yksiselitteisesti arvon , niin $a$ $c$ $a$

kahdella kynässä olevalla hyperbolalla ei ole yhteisiä pisteitä.

Konfokaaliset ellipsit ja hyperbolit

Yhtälö

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

kuvaa ellipsiä kohdassa ja hyperbolaa . _ $c<a$ $0<a<c$

Kirjallisuudesta löydät toisen version esityksestä:

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

missä ovat annetun ellipsin puoliakselit (silloin annetaan myös polttopisteet ) ja on säteen parametri. Sille , saamme konfokaaliset ellipsit (eli ) ja :lle konfokaaliset hyperbolit, joissa on polttopisteitä . $a,b$ $F_{1},\;F_{2}$ $\lambda$
$\lambda <b^{2}$ ${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2))$
$b^{2}<\lambda <a^{2}$ $F_{1},\;F_{2}$

Konfokaalisten ellipsien ja hyperbolien nippujen huomioon ottaminen johtaa seuraavaan johtopäätökseen tangentista ja normaalista tietyssä pisteessä (ellipsin normaali ja hyperbolin tangentti jakavat pisteen ja polttopisteen välisen kulman):

jokainen nipun ellipsi leikkaa jokaisen hyperbolin suorassa kulmassa (katso kuva).

Siten on mahdollista peittää taso konfokaalisten ellipsien ja hyperbolien ortogonaalisella järjestelmällä. Tällaista ortogonaalista ristikkoa voidaan käyttää elliptisen koordinaattijärjestelmän perustana .

Konfokaaliset paraabelit

Parabolilla on vain yksi painopiste. Paraabelia voidaan pitää konfokaalisten ellipsien tai hyperbolien nipun rajana, jossa yksi fokus on kiinteä ja toinen poistetaan äärettömään. Jos samanlainen harkinta tehdään konfokaalisille ellipseille ja hyperboloille, voidaan saada järjestelmä, jossa on kaksi konfokaalista paraabelia.

Yhtälö kuvaa paraabelia, jonka origo on polttopisteessä, ja x -akseli on symmetria-akseli. Harkitse kahta paraabelinippua: $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$

$y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ paraabelit, ääretön oikealle,

y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,

paraabelit, ääretön vasemmalle, painopiste on jaettu.

F=(0,0)

Paraabeliyhtälöstä seuraa, että

yhteen suuntaan ulottuvilla paraboleilla ei ole yhteisiä pisteitä.

Laskelmat sen osoittavat

mikä tahansa paraabeli , joka ulottuu oikealle, leikkaa jokaisen paraabelin , joka ulottuu vasemmalle kohtisuoraan. Risteyspisteillä on koordinaatit . $y^{2}=2px+p^{2}$ $y^{2}=-2qx+q^{2}$ $({\tfrac {qp}{2)),\pm {\sqrt {pq)))\$

Vektorit ( ovat normaaleja vektoreita leikkauspisteissä. Näiden vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. ${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}= \left(q,\pm {\sqrt {pq}}\oikea)^{T})$

Analogisesti konfokaalisten ellipsien ja hyperbolien kanssa taso voidaan peittää ortogonaalisella paraabeliruudukolla.

Gravesin lause konfokaalisten ellipsien rakentamisesta

Vuonna 1850 irlantilainen piispa Charles Graves osoitti ja julkaisi seuraavan menetelmän konfokaalisten ellipsien rakentamiseen lankaa käyttämällä: [1]

jos ympäröimme tietyn ellipsin E renkaalla, jonka lanka on pidempi kuin tietyn ellipsin ääriviiva, piirretään uusi ellipsi käyttämällä polttopisteisiin kiinnitettyjä "neuloja" (katso ellipsin rakenne ), kun taas uusi ellipsi on konfokaalinen E:n kanssa. Tämän väitteen todistaminen edellyttää elliptisten integraalien käyttöä . Otto Staude yleisti tämän menetelmän konfokaalisten ellipsoidien rakentamiseksi.

Jos ellipsi E on segmentti , niin sen kanssa konfokaalisilla ellipseillä on polttopisteitä . $F_{1}F_{2}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2))$

Toisen asteen konfokaaliset pinnat

Toisen asteen konfokaalisten pintojen käsite on konfokaalisen kartioleikkauksen käsitteen muodollinen yleistys kolmiulotteiseen avaruuteen.

Valitsemme kolme reaalilukua ehdolla . Yhtälö ${\näyttötyyli a,b,c}$ $a>b>c>0$

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1$ kuvailee

ellipsoidi klo,

\lambda <c^{2}

yksiarkin hyperboloidi ( sininen pinta kuvassa),

{\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2))

kaksiarkkinen hyperboloidi osoitteessa .

b^{2}<\lambda <a^{2}

Kun ratkaisuja ei ole

a^{2}<\lambda

(Tässä yhteydessä parametri ei ole ellipsoidin polttoväli). $c$

Samoin kuin konfokaalisten ellipsien/hyperbolien tapauksessa, meillä on seuraavat ominaisuudet:

mikä tahansa piste sijaitsee vain yhdellä pinnalla jokaisesta kolmesta konfokaalisen nelikulman tyypistä; ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3))$ $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$

kolme pisteen läpi kulkevaa toisen kertaluvun pintaa leikkaavat toisiaan kohtisuorasti

{\näyttötyyli (x_{0},y_{0},z_{0})}

Todiste kolmen tietyn pisteen läpi kulkevan nelikulman olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta : pisteen kohdalla harkitse funktiota $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$

f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^ {2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1

Tällä funktiolla on kolme pystysuoraa asymptoottia ja se on jatkuva ja monotonisesti kasvava kaikilla aikaväleillä . Analyysi funktion käyttäytymisestä lähellä vertikaalisia asymptootteja ja at johtaa johtopäätökseen, että sillä on kolme juuria ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2))$ $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;( a^{2},\infty )$ $\lambda \to \pm \infty$ $f$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$ ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\väri {punainen}\ lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Todistus pintojen ortogonaalisuudesta : harkitse funktioiden pyörät parametrilla . Konfokaaliset neliöt voidaan kuvata relaatiolla . Kaikille kahdelle leikkaavalle quadricsille yhteisessä pisteessä Tasa-arvo $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b ^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ $\lambda$ $F_{\lambda }(x,y,z)=1$ $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ $(x, y, z)$

0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}- \lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})} }+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k)))))+{\frac {z ^ {2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\oikea)\ .

Tästä syystä gradienttien skalaaritulo yhteisessä pisteessä

\operaattorinimi {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operaattorinimi {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}} {(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}- \lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})( c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

mikä todistaa ortogonaalisuuden.

Sovellukset. Ch. Dupinin
lauseen ortogonaalisista pintajärjestelmistä seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

minkä tahansa kahden toisen asteen konfokaalipinnan leikkausviiva on kaarevuusviiva ;
analogisesti elliptisten koordinaattien kanssa voidaan ottaa käyttöön ellipsoidiset koordinaatit .

Fysiikassa konfokaaliset ellipsoidit ovat ekvipotentiaalipintoja:

varautuneen ellipsoidin ekvipotentiaalipinnat ovat konfokaalisia annettuun ellipsoidiin nähden. [2]

Ivoryn lause

Skotlannin matemaatikon James Ivoryn (1765–1842) mukaan nimetty Ivoryn lause on väite ortogonaalisten käyrien muodostaman nelikulmion diagonaaleista.

Jokaisessa nelikulmiossa, jonka muodostavat kaksi konfokaalista ellipsiä ja kaksi konfokaalista hyperbolia, joilla on samat polttopisteet, diagonaalit ovat yhtä pitkiä.

Ellipsin ja konfokaalisen hyperbolin leikkauspisteet
Olkoon ellipsi, jonka polttopisteet on annettu yhtälöllä $E(a)$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c>0,\

a on konfokaalinen hyperboli yhtälön kanssa $H(u)$

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad c>u\ .

Laske leikkauspisteet ja anna neljän pisteen koordinaatit $E(a)$ $H(u)$

$\left(\pm {\frac {au}{c)),\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}- u^{2})}}{c}}\oikea).$

Nelikulman diagonaalit
Laskelmien yksinkertaistamiseksi oletetaan, että

$c = 1$ , mikä ei ole merkittävä rajoitus, koska skaalaus on mahdollista;
valittaessa kylttiä (katso leikkauspisteitä koskeva kohta), otamme huomioon vain . On helppo osoittaa, että eri merkin valitseminen johtaa samaan tulokseen. $\pm$ $+$

Olkoon konfokaalisia ellipsejä ja konfokaalisia hyperboleja, joilla on samat polttopisteet. Nelikulman diagonaalit, jotka muodostuvat leikkauspisteistä koordinaattien kanssa $E(a_{1}),E(a_{2})$ $H(u_{1}),H(u_{2})$

P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2}) }}\oikea)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2) }^{2})}}\oikea)\ ,

P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2}) }}\oikea)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1) }^{2})}}\oikea)

on pituuksia

{\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\ vasen({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)( 1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^ {2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2) }-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\oikea)\loppu{tasattu} }

Viimeinen lauseke on muuttumaton suhteessa korvaukseen . Tällainen korvaus johtaa pituuden lausekkeeseen . Siis tasa-arvo $u_{1}\leftrightarrow u_{2}$ $|P_{1\väri {punainen}2}P_{2\väri {punainen}1}|^{2}$

$|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Konfokaalisten paraabelien väitteen todiste on yksinkertainen laskelma.

Ivory osoitti myös lauseen kolmiulotteiselle tapaukselle:

kolmiulotteisessa suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä, joka muodostuu konfokaalisista neliöistä, vastakkaisia pisteitä yhdistävät diagonaalit ovat yhtä pitkiä.

Muistiinpanot

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berliini, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berliini/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , s. 480.

Kirjallisuus

W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , s. 111.
G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: Kartioiden universumi: Muinaisista kreikkalaisista 2000-luvun kehitykseen , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , s. 457.
David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berliini 1910, s. 257.
A. Robson: Johdatus analyyttiseen geometriaan Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, s. 157.
DMY Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions , Cambridge, University Press, 1959, s. 235.

Linkit

T. Hofmann: Miniscript Differentialgeometrie I, s. 48
B. Springborn: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
H. Walser: Konforme Abbildungen. s. kahdeksan.