Elliptinen koordinaattijärjestelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. helmikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Elliptiset koordinaatit ovat kaksiulotteinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä , jossa koordinaattiviivat ovat konfokaalisia ellipsejä ja hyperboleja . Kaksi keskittyy ja yleensä otetaan pisteitä ja akseleilla suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän . $F_{1}$ $F_{2}$ $-c$ $+c$ $X$

Perusmääritelmä

Elliptiset koordinaatit määritellään yleensä säännöllä: $(\mu ,\;\nu )$

\left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matrix}}\right.

missä ,. _ $\mu \geqslant 0$ $\nu \in [0,\;2\pi )$

Tämä määrittelee konfokaalisten ellipsien ja hyperbolien perheen. Trigonometrinen identiteetti

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

osoittaa, että tasoviivat ovat ellipsejä ja identiteettiä hyperbolisesta geometriasta $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

osoittaa, että tasoviivat ovat hyperboleja . $\nu$

Lame kertoimet

Elliptisten koordinaattien Lame-kertoimet ovat $(\mu ,\;\nu )$

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Kaksoiskulman identiteetit antavat meille mahdollisuuden tuoda ne muotoon

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

Alueelementti on:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

ja laplalainen on

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2} }}\oikea).

Muita differentiaalioperaattoreita voidaan saada korvaamalla Lamén kertoimet ortogonaalisten koordinaattien yleisiin kaavoihin. Esimerkiksi skalaarikentän gradientti kirjoitetaan: $\Phi (\mu ,\;\nu )$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },

missä

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Muu määritelmä

Joskus käytetään toista geometrisesti intuitiivisempaa elliptisten koordinaattien määritelmää : $(\sigma ,\;\tau )$

\left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.

Tasoviivat ovat siis ellipsejä ja tasoviivat hyperboleja. Jossa $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Koordinaateilla on yksinkertainen suhde polttopisteiden etäisyyksiin ja . Mihin tahansa kohtaan koneessa $(\sigma ,\;\tau )$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.

missä ovat etäisyydet polttopisteisiin , vastaavasti. $d_{1},\;d_{2}$ $F_{1},\;F_{2}$

Tällä tavalla:

\left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.

Muista, että ja sijaitsevat pisteissä ja vastaavasti. $F_{1}$ $F_{2}$ $x=-c$ ${\näyttötyyli x=+c}$

Tämän koordinaattijärjestelmän haittana on, että se ei yhdistä yksi-yhteen suorakulmaisiin koordinaatteihin:

\left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matrix}}\right.

Lame kertoimet

Vaihtoehtoisten elliptisten koordinaattien Lame-kertoimet ovat: $(\sigma ,\;\tau )$

h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Alueelementti on

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2) })}}}\,d\sigma \,d\tau ,

ja laplalainen on

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\ partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].

Muita differentiaalioperaattoreita voidaan saada korvaamalla Lamén kertoimet ortogonaalisten koordinaattien yleisiin kaavoihin.

Kirjallisuus

Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tieteilijöille ja insinööreille). - M .: Nauka, 1974. - 832 s.

Katso myös

Apolloniuksen ympärysmitta

Koordinaattijärjestelmät
Koordinaattien nimi	Abskissa Ordinate Applikointi
Koordinaattijärjestelmien tyypit	Suoraviivainen koordinaattijärjestelmä Kaareva koordinaattijärjestelmä
2D koordinaatit	Kaksikulmaiset koordinaatit Kaksikeskiset koordinaatit Hyperboliset koordinaatit Polaarikoordinaatit Bipolaariset koordinaatit Paraboliset koordinaatit Elliptiset koordinaatit Tetrasykliset koordinaatit Trilineaariset koordinaatit
3D-koordinaatit	Sylinterimäiset koordinaatit Pallomaiset koordinaatit Bisfääriset koordinaatit Toroidaaliset koordinaatit Lieriömäiset paraboliset koordinaatit Kaksisylinteriset koordinaatit Ellipsoidiset koordinaatit Kartiokoordinaatit Pentasfääriset koordinaatit Dipolaarinen koordinaattijärjestelmä
$n$ -ulotteiset koordinaatit	Suorakulmaiset koordinaatit Affine koordinaatit Projektiiviset koordinaatit Plückerin koordinaatit barysentriset koordinaatit
Fyysiset koordinaatit	Rindlerin koordinaatit Syntymäkoordinaatit Taivaallinen koordinaattijärjestelmä Maantieteelliset koordinaatit Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Aiheeseen liittyvät määritelmät	Koordinaattimenetelmä Alkuperä Koordinaattiakseli Vektori Orth viitejärjestelmä Vertailuarvo Huonot kertoimet Metrinen tensori