Pallomaiset funktiot

Pallofunktiot ovat Laplacen yhtälön ortogonaalisten ratkaisujen perheen kulmaosa , joka on kirjoitettu pallokoordinaateilla . Niitä käytetään laajalti fysikaalisten ilmiöiden tutkimiseen pallomaisten pintojen rajaamilla spatiaalisilla alueilla sekä pallosymmetristen fysikaalisten ongelmien ratkaisemisessa. Pallofunktiot ovat erittäin tärkeitä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa ja teoreettisessa fysiikassa , erityisesti elektronien kiertoradan laskentaongelmissa atomissa, geoidin gravitaatiokentässä , planeettojen magneettikentässä ja kosmisen mikroaallon intensiteetissä. säteilyä .

Määritelmä

Pallofunktiot ovat Laplace-operaattorin ominaisfunktioita pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä (merkintä ). Ne muodostavat ortonormaalin järjestelmän funktioiden avaruudessa pallolla kolmiulotteisessa avaruudessa: $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ $\mathbb {S} ^{2}$

\langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d \theta \,d\varphi =1

\langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^ {\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _ {mm'}

missä * tarkoittaa monimutkaista konjugaatiota , on Kronecker-symboli . $\delta _{{ll'}}$

Pallofunktioilla on muoto

Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )

jossa funktiot ovat yhtälön ratkaisuja $\Theta _{{lm}}(\theta )$

{\frac {1}{\sin {\theta ))}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm} }{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _ {l}^{m}=0

ja sinulla on muoto

\Theta _{l}^{m}={\sqrt ({\frac {2l+1}{2)){\frac {(lm)!}{(l+m)!)))) P_{l}^{m}(\cos \theta )

Tässä ovat niihin liittyvät Legendre-polynomit , ja se on tekijä . $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ $m!$

Negatiiviset Legendre-polynomit esitellään tässä muodossa $m$

P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!)}P_{\ ell }^{m}(x)

Laplacen yhtälön ratkaisu pallokoordinaateissa on ns. pallofunktio, joka saadaan kertomalla pallofunktio säteittäisen yhtälön ratkaisulla.

Todellinen muoto

Pallofunktioille kulman riippuvuuden muoto on monimutkainen eksponentti. Käyttämällä Eulerin kaavaa voidaan esittää todellisia pallofunktioita. Joskus niitä on helpompi käyttää, koska todelliset funktiot voidaan näyttää selkeästi kuvissa toisin kuin monimutkaiset. $\varphi$

{\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell }^{m}- (-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\oikea)&{\teksti{ }}\ m<0\\\näyttötyyli Y_{\ell }^{0}&{\ teksti{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{ \ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,( -1)^{m}\,\operaattorin nimi {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\näyttötyyli Y_{\ell }^ {0}&{\text{ }}\ m=0\\\näyttötyyli {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operaattorin nimi {Re} [{Y_{\ell }^ {m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}

Käänteinen muunnos:

Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2))}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell , -|m|}\oikea)&{\teksti{ }}\ m<0\\\näyttötyyli Y_{\ell 0}&{\teksti{ }}\ m=0\\\näyttötyyli {(-1)^ {m} \yli {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0. \end{cases}}

Joskus todellisia pallofunktioita kutsutaan vyöhyke-, tesseraal- ja sektorifunktioiksi. [1] . Funktiot m > 0 riippuvat kulmasta kosinina ja m < 0 sininä.

$Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{ (\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m <0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\ \displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\ lopeta{tapaukset}}$

Kääntyy

Tarkastellaan koordinaattijärjestelmän kiertoa Euler-kulmilla , joka muuttaa yksikkövektorin vektoriksi . Tässä tapauksessa vektorikulmat uudessa koordinaattijärjestelmässä ilmaistaan kulmilla vanhassa koordinaatistossa seuraavasti: ${\mathcal {R}}$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r} }'$ $\theta ',\varphi '$ ${\mathbf {r} }'$

\cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )

\operaattorinnimi {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operaattorinimi {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operaattorinimi {ctg } \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )))

Uudessa koordinaattijärjestelmässä pallofunktio, jossa on indeksit ja , esitetään lineaarisena yhdistelmänä kaikista funktioista, joilla on sama numero ja eri . Lineaarisen yhdistelmän kertoimet ovat kompleksikonjugaatti Wigner D-matriiseja [2] $\ell$ $m$ $\ell$ $m$

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ', \varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_ {\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),

Numeroidut pallofunktiot muodostavat perustan SO(3)-kiertoryhmän dimensioiden pelkistymättömälle esitykselle. $\ell$ ${\näyttötyyli (2\ell +1)}$

Tasoaallon laajeneminen pallofunktioina

Kompleksinen eksponentti voidaan esittää pallofunktioiden laajenemisena

e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\ summa _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m }\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\oikea)

Tässä on pallomainen Besselin funktio $j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

Pallofunktioiden tulojen hajoaminen

Clebsch-Gordan- laajennukset kahden pallofunktion tuotteille ovat seuraavat [3] :

Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L, M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)))}\langle \ell _{ 1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2 }|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )

Katso myös

Luettelo pallofunktioista

Muistiinpanot

↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt Arkistoitu kopio 27. joulukuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ M. A. Morrison, G. A. Parker . Kvanttimekaniikan kiertoopas Arkistoitu 1. lokakuuta 2019 Wayback Machinessa . — Australian Journal of Physics, voi. 40, s. 465, 1987
↑ Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Kvanttiteoria kulmaliikemäärästä. Arkistokopio päivätty 11. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa - L .: Nauka, 1975.

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - Painos 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). - ISBN 5-02-014421-5 . - matemaattiset lisäykset

Sovellukset

Linkit

Palloharmonit sovellettu akustisen kentän analyysiin Trinnov Audion tutkimussivulla
Spherical Harmonics Stephen Wolfram ja Nodal Domains of Spherical Harmonics Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project
Helppokäyttöinen johdatus pallomaisiin harmonisiin (JB Calvert)
Palloharmonisten sisääntulo Citizendiumissa