Clebsch-Gordan kertoimet

Clebsch-Gordan-kertoimilla on käyttöä kvanttimekaanisten kulmamomenttien vuorovaikutuksen kuvaamisessa. Ne ovat kokonaiskulmaliikemäärän ominaisfunktioiden laajennuskertoimia summatun liikemäärän ominaisfunktioiden perusteella. Clebsch-Gordan-kertoimia käytetään spin-kiertoradan vuorovaikutuksen laskennassa sekä isospin - formalismissa .

Clebsch-Gordan-kertoimet on nimetty Alfred Clebschin (1833-1872) ja Paul Albert Gordanin (1837-1912) mukaan.

Kulmamomentin vuorovaikutus

Katso myös artikkeli Momentum-operaattori .

Tarkastellaan kahta kulmamomenttia ja , joilla on kvanttilukuja ja ( -komponentti) ja ja . Tässä tapauksessa ja ota arvot ja vastaavasti. Kulmamomentit vaihtelevat , mikä tarkoittaa, että molemmat voidaan mitata samanaikaisesti millä tahansa tarkkuudella. Jokainen impulssin hetki vastaa omaa ominaisfunktioiden (vektorien) kantaansa: tai . Pohjassa momentti saa yksinkertaisen diagonaalimuodon, samoin kannassa . $J_{1}$ $J_{2}$ $j_{1}$ $m_1$ $z$ $j_{2}$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $m_{1}=[-j_{1},\;\ldots ,\;j_{1}]$ $m_{2}=[-j_{2},\;\ldots ,\;j_{2}]$ $[J_{1},\;J_{2}]=0$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $J_{1}$ $J_{2}$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$

Vuorovaikutuksessa sekä kulmamomentti että summa muodostavat yhteisen momentin , jolla on kvanttiluvut ja , ottaen seuraavat arvot $J_{1}$ $J_{2}$ ${\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}$ $J$ $M$

|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|

ja (vaiheessa 1).

M=[-J,\;\ldots ,\;J]

Koska kokonaiskulmaliikemäärä koostuu kahdesta erillisestä kulmamomentista ja , niin sitä voidaan laajentaa yksittäisten momenttien kahden oikean tilan tulon avaruudessa: $J_{1}$ $J_{2}$

\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1} \right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .

Tämän kannan vektorit eivät kuitenkaan ole kokonaiskulmaliikemäärän ominaisvektoreita, eikä sen esityksillä tässä kannassa ole yksinkertaista diagonaalimuotoa. ${\vec {J}}$

Kokonaiskulmamomentin ominaisvektorien perusta

Liikemäärän ominaisvektorit määritetään yksiselitteisesti kvanttiluvuilla , ja . Näiden vektorien perusteella kokonaismomentti saa yksinkertaisen diagonaalimuodon. Nimittäin ${\vec {J}}$ $J$ $M$ $j_{1}$ $j_{2}$ $J$

{\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\ hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;

J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{ 1},\;j_{2}\right\rangle .

Clebsch-Gordan-kertoimet antavat unitaarimuunnoksen avulla siirtymän yksittäisten momenttien ominaisavaruuksien tulon kannasta ominaisvektorien kantaan . $\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle$

\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_ {1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\ ;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Tässä ovat Clebsch-Gordan-kertoimet. $\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle$

Clebsch-Gordan-kertoimien ominaisuudet

Clebsch-Gordan-kertoimet ovat nolla, jos toinen kahdesta ehdosta ei täyty : $|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2))$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+ m_{2}.

Clebsch-Gordan-kertoimet saadaan reaaliluvuilla:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \in \mathbb {R} .

Clebsch-Gordan-kerroin on asetettu positiiviseksi: $M=J$

\langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_ {2}\rangle >0.

Clebsch-Gordan-kertoimet ovat absoluuttisesti yhtä suuret : $M=-M$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2 }\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Clebsch-Gordan-kertoimet täyttävät ortogonaalisuusehdon:

\sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J, \;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J' ,\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.

Clebsch-Gordan-kertoimet täyttävät ortogonaalisuusehdon:

\sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\; j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M, \;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.

Clebsch-Gordan-kertoimien laskeminen

Ominaisuustila kanssa ja saadaan suoraan osamomenttien ominaisavaruuksien tulon perusteella (vain yksi kerroin on 1, loput nollia) ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ $M=J$

|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\; j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .

Käyttämällä dekrementtioperaattoria saat tilat välillä - tai kaikki tilat kohteesta ja . ${\displaystyle J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-))$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle$ ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=-J,\;\ldots ,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2))$

Tila voidaan saada ehdolla ortogonaalisuudesta tilaan ja sopimukseen, että Clebsch-Gordan-kerroin at on positiivinen. $|j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $M=J$

Käyttämällä vähennysoperaattoria saamme jälleen kaikki tilat, joissa on . Voit käyttää tätä menettelyä iteratiivisesti kaikkiin enintään . $J=j_{1}+j_{2}-1$ $M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}-1$ $J$ $J=|j_{1}-j_{2}|$

Käytännössä Clebsch-Gordan-kertoimien laskenta suoritetaan kaavan mukaan:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1} )!(jm)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)! }}}\ajat

\times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^ {j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(js)!(s-m_{1}-m_{2 })!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},

missä

\Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})! (j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.

Jos on kokonaisluku, niin summaus tässä kaavassa suoritetaan kokonaislukuarvoille , ja jos on puolikokonaisluku, niin summaus suoritetaan puolikokonaislukuarvoille . ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$ ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$

Muunnosryhmän Clebsch-Gordan-kertoimet (yleistetut Clebsch-Gordan-kertoimet)

Harkitse ryhmää ja sen esitystä . Valitaan myös tämän ryhmän kantavektorit ja redusoitumattomat esitykset . Pelkistymättömäksi tensorioperaattoriksi ( irreducible tensor ) kutsutaan operaattorijoukkoa , jos ryhmän muodostavien muunnosten tuloksena tensorikomponentit muuntuvat toistensa läpi tämän ryhmän redusoitumattomien esitysten mukaisesti, eli se täyttää seuraavan suhteen : $G$ ${\displaystyle \psi _{\mu }^{(\alpha )))$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\alpha )))$ ${\displaystyle D^{(\beta )))$ $f_{k}$ $\{{\hattu {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}$ $g$ $G$ ${\displaystyle {\hat {F}}_{\chi }^{(k)))$ $D^{(k)}$

{\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g ){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.

Vektorit missä muodostavat esityksen perustan . Tämä esitys on yleisesti ottaen supistettavissa. Siksi se voidaan esittää redusoitumattomien esitysten kantavektoreiden lineaarisina yhdistelminä, joihin esitysten suora tulo (mainittu edellä) on jaettu . Tätä varten käytetään ryhmän yleistettyjä Clebsh-Gordan-kertoimia . $|{\hattu {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle$ ${\displaystyle \chi =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{\beta ))$ ${\displaystyle D^{(k)}\times D^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\gamma )))$ $G$ $\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle$

|{\hattu {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \({\hat {F))^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^ {\gamma }.

Ryhmän yleistetyt Clebsch-Gordan-kertoimet määritellään kertoimina pelkistymättömien esitysten kantavektoreiden laajennuksessa esitysten suoratulon lineaariseksi yhdistelmäksi . ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )))$

\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},

missä ovat esitysten kantavektorit ja ovat esityksen kantavektorit : . ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )},\;{\hat {D}}^{(\beta )))$ $\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\sum _{\gamma }^{\oplus }a^{( \gamma )}{\hat {D}}^{(\gamma )))$

Clebsch-Gordan-kertoimien määritelmästä seuraa: . $V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )}=\sum _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$
Clebsch-Gordan-kertoimet muodostavat yhtenäisen matriisin.

Katso myös

Linkit

Taulukko, jossa on esimerkkejä joistakin ja $j_{1}$ $j_{2}$ arvoista (PDF, 70 kB) ( Huomautus : tässä taulukossa oletetaan, että kertoimen arvon neliöjuuri on otettava)

Kirjallisuus

Sobelman II Johdatus atomispektrien teoriaan. - Kirjallisuuden kustantaja, 1963.
Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet. – 5. painos - Nauka, 1976. - 664 s.