Lähentyminen mitoissa

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Mitan (todennäköisyyden) konvergenssi funktionaalisessa analyysissä , todennäköisyysteoriassa ja niihin liittyvissä tieteenaloissa on eräänlainen avaruudessa annettujen mitattavien funktioiden ( satunnaismuuttujien ) konvergenssi mittaan ( todennäköisyysavaruus ).

Määritelmä

Olkoon tila mittauksella. Olkoon mitattavissa olevia toimintoja tässä avaruudessa. Funktioiden sarjan sanotaan konvergoivan mitattuna funktioon, jos $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\lpistettä$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Nimitys: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

Todennäköisyysteorian kannalta, jos todennäköisyysavaruus on annettu satunnaismuuttujineen , sanotaan, että se konvergoi todennäköisyydellä jos $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $X_n,X,\; n=1,2,\lpistettä$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Nimitys: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Huomautus

Mitan konvergenssin määritelmä (todennäköisyydellä) voidaan yleistää kartoituksiin ( satunnaiselementteihin ), jotka ottavat arvoja mielivaltaisessa metriavaruudessa .

Konvergenssin ominaisuudet mitassa

Lause (Riess F.): Jos funktiojono konvergoi mittaan , niin sillä on osajono , joka suppenee - melkein kaikkialle . $f_n$ $f$ $f_{n_{k}}$ $f$ $\mu$

Lause (mitan konvergenssin kriteeri): Jos suure on äärellinen, niin funktiojono konvergoi suureen jos ja vain, jos jollekin sekvenssin osasekvenssille on olemassa osajono, joka suppenee melkein kaikkialle. $f_n$ $f$ $f_n$ $f$

Jos funktiojono konvergoi mitattuna arvoon , ja , missä , sitten , ja konvergoi sisään . $f_n$ $f$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \in L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $f$ $L^{p}$

Jos äärellisen suuren avaruudessa funktiojono suppenee -melkein kaikkialla kohtaan , niin se myös konvergoi mitassa. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. $f_n$ $\mu$ $f$

Jos funktiojono konvergoi arvossa k , niin se konvergoi myös mittana. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa. $f_n$ $L^{p}$ $f$

Jos satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydessään arvoon , niin se konvergoi jakaumaan ja jakaumaan . $X_n$ $X$ $X$
Jos satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydessään arvoon , niin mille tahansa jatkuvalle funktiolle on totta, että . Tämä väite pätee erityisesti useiden muuttujien jatkuvaan funktioon $X_n$ $X$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty$