Tangentti-arvoinen muoto

Tangenttiarvoiset muodot ovat differentiaalimuotojen yleistys , jossa muodon arvojoukko on jakosarjan tangenttinippu .

Määritelmä

Jakotukin tangenttiarvoinen muoto on jakosarjan kotangenttikimppujen tangentin ja ulompien potenssien tensoritulon leikkaus : $M$

\omega \colon M\to \left(\wedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}TM

\pi \circ \omega =\imath d

Toiminnot

Sisäinen erilaistuminen
Ulkoinen erottelu

Valheen derivaatta

Tangentiaalisesti arvostettujen muotojen erikoistapaus ovat vektorikentät . Tensorikentän Lie-derivaata vektorikentän suhteen määritellään tavallisella tavalla: $T$ $X$

L_{X}T={\frac {d}{dt}}g^{t}T

missä on vektorikenttää vastaava vaihevirta . Tämä operaatio liittyy differentiaalimuodon sisäiseen kertomiseen vektorikentällä ja ulkoiseen differentiointiin homotopian kaavalla : ${\displaystyle g^{t))$ $X$ $\imath _{X}$

L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}

tuo on

L_{X}=[\imath _{X},d]

missä on kommutaattori tangentiaalisesti arvostettujen muotojen johdannaisten asteittaisessa algebrassa. Mielivaltaiselle tangentiaaliselle muodolle Lie-derivaata määritellään analogisesti: $[\cdot ,\cdot]$ $K$

L_{K}=[\imath _{K},d]

Ominaisuudet

$[L_{K},d]=0$

Frölicher-Nijenhuis-kiinnike

Frölicher-Nijenhuis-hakasulke kahdesta tangentiaalisesti arvostetusta muodosta ja se määritellään sellaiseksi ainutlaatuiseksi tangentiaalisesti arvostetuksi muodoksi , jolle $[\cdot ,\cdot]$ $K$ $F$ ${\näyttötyyli [K,F]}$

[L_{K},L_{F}]=L([K,F])

Tämä operaatio on luokiteltu antikommutatiiviseksi ja täyttää asteittaisen Jacobi-identiteetin . Jos näemme lähes monimutkaisen rakenteen tangenttiarvoisena 1-muotona, sen Nijenhuis-tensori (tensori, joka estää monimutkaisten paikalliskarttojen etsimisen) ilmaistaan Frölicher-Nijenhuis-sulun kautta muodossa . [1] Tietyn rakenteen "integroitavuuden" ehto joidenkin sen hakasulkeiden katoamisena itsensä kanssa on yleinen: esimerkiksi algebran assosiatiivisuusehto voidaan määritellä Gerstenhaberin hakasulkeen katoamiseksi kodifferentiaatioiden avaruudessa. vapaasta koalgebrasta, jonka muodostaa algebran taustalla oleva vektoriavaruus ja joka on sijoitettu arvosanaan 1 (bilineaariset kertolaskut ovat samat kuin asteikolla 1) [2] . $minä$ ${\näyttötyyli [minä, minä]}$ $A$ $A$ $\mu \colon A\otimes A\to A$

Nijenhuis-Richardsonin kiinnike

Kahden tangentiaalisesti arvotetun muodon Nijenhuis-Richardsonin hakasulke (algebralliset hakasulkeet) on määritelty ainoaksi tangentiaalisesti arvostetuksi muodoksi , jolle ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\kiila ))$ $K$ $F$ ${\näyttötyyli [K,F]^{\kiila ))$

[\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\kiila })

Tämä operaatio on luokiteltu antikommutatiiviseksi ja täyttää asteittaisen Jacobi-identiteetin . Selkeä muoto kahden muodon suluissa : $K\in \Omega ^{k+1}(M,TM)$ $F\in \Omega ^{f+1}(M,TM)$

[K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Muotoa kutsutaan juottamiseksi , jos se sijaitsee . $T^{*}M\otimes TM$

Muistiinpanot

↑ Kymmeniä määritelmiä lähes monimutkaisen rakenteen Nijenhuis-tensorista . $N_{J}\in \Lambda ^{2}T^{*}M\otimes TM$ $J\in T^{*}M\otimes TM$ . Käyttöpäivä: 31. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 26. maaliskuuta 2015. (määrätön)
↑ Homologiset menetelmät ei-kommutatiivisessa geometriassa, luento 8. Arkistoitu 24. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa , Lemma 8.2

Kirjallisuus

GA Sardanashvili Nykyaikaiset kenttäteorian menetelmät. Osa 1: Geometria ja klassiset kentät, - M. : URSS, 1996. - 224 s.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Luonnolliset operaatiot differentiaaligeometriassa , - Springer-Verlag, Berliini, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .