Vinogradovin lause

Lukuteoriassa Vinogradovin lause on tulos , josta seuraa, että mikä tahansa riittävän suuri pariton kokonaisluku voidaan kirjoittaa kolmen alkuluvun summana . Tämä on heikompi muoto heikosta Goldbach -oletuksesta , mikä tarkoittaa, että tällainen esitys on olemassa kaikille parittomille kokonaisluvuille, jotka ovat suurempia kuin viisi.

Lause on nimetty Ivan Matveevich Vinogradovin mukaan, joka todisti sen 1930-luvulla. Hardy ja Littlewood olivat aiemmin osoittaneet, että tämä tulos johtuu yleistetystä Riemannin hypoteesista , ja Vinogradov pystyi poistamaan tämän oletuksen. Vinogradovin lauseen täydellinen esitys antaa asymptoottisia arvioita parittoman kokonaisluvun esitysten lukumäärälle kolmen alkuluvun summana. Käsite "riittävän suuri" oli huonosti määritelty Vinogradovin alkuperäisessä teoksessa, mutta vuonna 2002 10 1346 osoitettiin riittävän suureksi. Lisäksi edelliset luvut on testattu raakavoimamenetelmillä, joten testattavia tapauksia on vain rajallinen määrä ennen kuin outo Goldbach-oletus todistetaan tai kumotaan. $10^{20}$

Vinogradovin lauseen lause

Olkoon A positiivinen reaaliluku. Sitten

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

missä

r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{ 3}),

käyttämällä Mangoldt-funktiota ja $\lambda$

G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\oikea)\oikea )\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\oikea)\oikea).

Seuraus

Jos N on pariton, niin G ( N ) on suunnilleen yhtä suuri kuin 1, siis kaikille riittävän suurille N :ille . Osoittaen, että vastaavien päävoimien osuus r ( N ): iin on , voidaan nähdä $N^{2}\ll r(N)$ $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$

N^{2}\log ^{-3}N\ll

(tapoja N voidaan kirjoittaa kolmen alkuluvun summana)

Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että mikä tahansa riittävän suuri pariton kokonaisluku voidaan kirjoittaa kolmen alkuluvun summana, mikä osoittaa heikkoa Goldbach-oletusta kaikille paitsi äärelliselle luvulle. Vuonna 2013 Harald Helfgott osoitti heikon Goldbach-oletuksen kaikissa tapauksissa.

Todistusstrategia

Lauseen todistus noudattaa Hardy-Littlewoodin ympyrämenetelmää . Määritä eksponentiaalinen summa

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

Sitten meillä on

S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n) e(\alpha n)

jossa ilmaisee esitysten lukumäärää, joka on rajoitettu :n alkuvoimaan . Näin ollen ${\tilde {r))$ $\leq N$

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

Jos se on rationaalinen luku , niin se voidaan antaa jäännösluokkien alkulukujakaumalla modulo . Siksi Siegel-Walfis-lausetta käyttämällä voimme laskea yllä olevan integraalin osuuden rationaalisten pisteiden pienissä ympäristöissä, joilla on pieni nimittäjä. Tällaisia rationaalisia pisteitä lähellä olevien reaalilukujen joukkoa kutsutaan yleensä pääkaareiksi, komplementti muodostaa sivukaaret. Osoittautuu, että nämä intervallit hallitsevat integraalia, joten lauseen todistamiseksi on tarpeen antaa pieniin kaariin sisältyville for: lle yläraja. Tämä arvio on todistuksen vaikein osa. $\alpha$ ${\frac {p}{q))$ $S(\alpha )$ $q$ $S(\alpha )$ $\alpha$

Jos hyväksymme yleisen Riemannin hypoteesin, suurkaareille käytetty argumentti voidaan laajentaa pieniin kaareihin. Hardy ja Littlewood tekivät tämän vuonna 1923. Vuonna 1937 Vinogradov antoi ehdottoman ylärajan . Hänen väitteensä alkoi yksinkertaisella seulan määritelmällä, minkä jälkeen tuloksena olevat termit järjestettiin uudelleen monimutkaisin tavoin saada jonkinlainen peruutus. Vuonna 1977 R.C. Vaughan löysi paljon yksinkertaisemman argumentin, joka perustui siihen, mikä myöhemmin tuli tunnetuksi Vaughanin identiteetiksi. Hän todisti, että jos , niin $|S(\alpha )|$ $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

Käyttämällä Siegel-Walfis-lausetta voimme käsitellä mielivaltaisia potenssia käyttämällä Dirichlet-approksimaatiolausetta, jonka saamme pienillä kaarilla. Siksi pienten kaarien yli oleva integraali voidaan rajata ylhäältä $q$ $\log N$ $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N))$

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}

mikä antaa termin virheen lauseessa.

Muistiinpanot

Vinogradov, Ivan Matveevich. Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa. - Lontoo ja New York: Interscience, 1954.
Nathanson, Melvyn B. Additiivinen lukuteoria. Klassiset pohjat. - New York: Springer-Verlag, 1996. - Voi. 164. - ISBN 0-387-94656-X . - doi : 10.1007/978-1-4757-3845-2 . luku 8.