Mangold-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16.4.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Mangoldt-funktio on aritmeettinen funktio , joka on yhtä suuri kuin if on alkuluvun potenssi , muuten . Lyhyesti: $\Lambda (n)$ $\ln s$ $n=p^{m}$ $\Lambda (n)=0$

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases))

Mangoldt-funktion ehdotti X. Mangoldt vuonna 1894. Käytetään todistamaan alkulukujen jakautumislaki yleensä ja aritmeettisessa progressiossa.

Ominaisuudet

Määritelmästä seuraa, että

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

Käyttämällä edellisen kaavan Möbiuksen inversiokaavaa saamme

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\mid n} \mu (d)\ln d

Suhde alkulukujakaumaan

Suhde Riemannin zeta-funktioon : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\ \ operaattorin nimi {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \operaattorinimi {Re} s>1$
Samanlaiset suhteet pätevät myös Dirichlet L-funktioille :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ n}},\ \operaattorin nimi {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operaattorinimi {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ missä on Eulerin vakio $\gamma$
Chebyshev psi -funktio on Mangoldt -funktion summausfunktio

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

Perronin kaava , sovellettu edelliseen suhteeseen, antaa

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \operaattorin nimi {Re} s>1

Kirjallisuus

Prahar. Alkulukujen jakautuminen. - M .: Mir, 1967.