Wolstenholmen lause

Wolstenholmen lause sanoo , että minkä tahansa alkuluvun vertailu on $p>3$

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}},

missä on keskimääräinen binomikerroin . Vastaava vertailu $\textstyle {\binom {2p}{p}}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{3}}}.

Yhdistelmäluvut , jotka täyttävät Wolstenholmin lauseen, ovat tuntemattomia , ja on hypoteesi, että niitä ei ole olemassa. Alkulukuja, jotka täyttävät samanlaisen modulovertailun, kutsutaan Wolstenholmin alkuluvuiksi . ${\displaystyle p^{4))$

Historia

Lauseen osoitti ensimmäisenä Joseph Wolstenholm vuonna 1862 . Vuonna 1819 Charles Babbage osoitti samanlaisen modulo congruencen , joka pätee kaikkiin alkulukuihin p . Wolstenholmin lauseen toisen muotoilun antoi JWL Glaisher Luukkaan lauseen vaikutuksesta . $p^{2}$

Kuten Wolstenholm itse totesi, hänen lauseensa saatiin vertaamalla (yleistettyihin) harmonisiin lukuihin :

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}\equiv 0{\pmod {p ^{2}}},

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\pisteet +{\frac {1}{(p-1) ^{2}}}\equiv 0{\pmod {p}}.

Yksinkertainen Wolstenholm

Alkulukua p kutsutaan Wolstenholmen alkuluvuksi , jos ja vain jos :

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}.

Toistaiseksi tunnetaan vain 2 yksinkertaista Wolstenholmia: 16843 ja 2124679 (sekvenssi A088164 OEIS : ssä ); loput ovat niin hyviä, jos ne ovat olemassa, ovat parempia kuin . $10^{9}$

Oletettavasti se käyttäytyy kuin näennäissatunnainen luku, joka jakautuu tasaisesti väliin . Heuristisesti oletetaan, että välissä olevien Wolstenholmen alkulukujen lukumääräksi arvioidaan . Näistä heuristisista pohdinnoista seuraa, että seuraava Wolstenholmin alkuluku on ja välillä . $\textstyle {\frac {{\binom {2p}{p}}-2}{p^{3}}}\mod p$ $[0,p-1]$ ${\näyttötyyli (K,N)}$ ${\näyttötyyli \ln \ln N-\ln \ln K}$ $10^{9}$ $10^{{24}}$

Samanlaiset heuristiset argumentit väittävät, että ei ole alkulukuja, joille vertailu tehdään modulo . $p^{5}$

Todiste

On olemassa useita tapoja todistaa Wolstenholmin lause.

Kombinatorialgebrallinen todistus

Tässä on Glashierin todistus kombinatoriikkaa ja algebraa käyttäen .

Olkoon p alkuluku, a , b ei-negatiivisia kokonaislukuja. Olkoon , , joukko p alkioita, jotka on jaettu renkaisiin , joiden pituus on p . Joukko kierroksia vaikuttaa jokaiseen renkaaseen . Siten ryhmä vaikuttaa koko A :han. Olkoon B mielivaltainen osajoukko b·p - alkioiden joukosta A. Joukko B voidaan valita eri tavoilla. Jokainen joukon B rata ryhmän vaikutuksesta sisältää elementtejä, joissa k on B :n osittaisleikkausten lukumäärä renkaiden kanssa . On olemassa kiertoradat, joiden pituus on 1, eikä kiertoradoja, joiden pituus on p . Siten saamme Babbagen lauseen: $A=(a_{{ij}})$ $i=1,\dots ,a$ $j=1,\pisteet ,p$ $K_{i}=(a_{ij})$ $j=1,\pisteet ,p$ ${\displaystyle C_{p}\cong \mathbb {Z} _{p))$ $\mathbb {Z} _{p}^{a}$ $\textstyle {\binom {ap}{bp))$ $\mathbb {Z} _{p}^{a}$ $p^{k}$ $K_{i}$ $\textstyle {\binom {a}{b))$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{2}}}.

Eliminoimalla pituusradat , saamme $p^{2}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}+{\binom {a}{2}}\left({\binom {2p}{p}}- 2\oikea){\binom {a-2}{b-1}}{\pmod {p^{3}}}.

Muiden sekvenssien ohella tämä vertailu tapauksessa , antaa meille yleisen tapauksen Wolstenholmin lauseen toiselle muodolle. $a = 2$ $b = 1$

Siirrymme kombinatoriikasta algebraan ja sovellamme polynomipäättelyä. Korjaamalla b , saamme vertailun molemmin puolin a :n polynomeihin , mikä pätee mille tahansa ei-negatiiviselle a . Siksi vertailu on totta mille tahansa kokonaisluvulle a . Erityisesti , saamme vertailun: $a = -1$ $b = 1$

{\binom {-p}{p}}\equiv {\binom {-1}{1}}+{\binom {-1}{2}}\left({\binom {2p}{p }}-2\oikea){\pmod {p^{3}}}.

Koska

{\binom {-p}{p}}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{\binom {2p}{p}},

sitten

3{\binom {2p}{p}}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.

Jos kyseessä on , peruutamme 3:lla ja todistus on valmis. $p\neq 3$

Samanlainen modulovertailu : ${\displaystyle p^{4))$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{4}}}

kaikille luonnollisille luvuille a , b on tosi jos ja vain jos , eli jos ja vain jos p on Wolstenholmin alkuluku. $a = 2$ $b = 1$

Lukuteoreettinen todiste

Esitetään binomikerroin kertoimien suhdelukuna , peruutetaan p ! ja peruuta p binomikertoimessa ja siirrä osoittaja oikealle, saamme:

{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{p-1}\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3))))

Vasen puoli on p : n polynomi , kerro hakasulut ja hylkää tuloksena olevasta polynomista p :n potenssit, jotka ovat suurempia kuin 3, saamme:

{\displaystyle a_{2}p^{2}+a_{1}p+(p-1)!\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3))))

Perutaan myös p : n teho moduulin kanssa ja sitten : $(p-1)!$ $(p-1)!$

{\displaystyle a_{2}p+a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2))))

huomaa, että

a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k)),

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij)).

Olkoon bijektio ja automorfismi . _ Sitten $T:x\mapsto gx$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{+))$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij))\equiv \sum \limits _{1\leq i<j \leq p-1}{\frac {1}{T(i)T(j)}}={\frac {1}{g^{2}}}={\frac {a_{2}}{g ^{2))}{\pmod {p)),

mikä tarkoittaa . $a_{2}\equiv 0{\pmod {p))$

Lopuksi,

a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}\Leftrightarrow 2a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}

2a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}\left({\frac {1}{k))+{\frac {1}{pk))\oikea )=-p\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}},

koska

\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv \left(\sum \limits _{k=1}^{ p-1}{\frac {1}{k}}\right)^{2}-a_{2}\equiv 0{\pmod {p}}

Siten lause on todistettu.

Yleistykset

Myös yleisempi väite pitää paikkansa:

{\binom {ap^{n}}{bp^{n}}}\equiv {\binom {ap^{n-1}}{bp^{n-1}}}{\pmod {p ^{3n}}}

Lauseen kääntäminen olettamukseksi

Wolstenholmen lauseen vastainen väite on hypoteesi, nimittäin jos:

{\binom {2n}{n}}\equiv 2{\pmod {n^{k}}},

jos k = 3, niin n on alkuluku. Tämä k :n arvo on minimi, jolle ei ole tunnettuja yhdistettyjä vertailuratkaisuja:

kun k = 1, alkulukujen lisäksi luvut, jotka muodostavat sekvenssin A082180 OEIS : ssä, täyttävät vertailun ; niiden joukossa ovat alkulukujen neliöt ja useat yhdistelmäluvut (ensimmäinen ei-triviaali pariton esimerkki: n = 27173 = 29 937).
kun k = 2, Wolstenholmin alkulukujen neliöt täyttävät vertailun (kuitenkin yhdistelmäluvut, jotka eivät ole tällaisen vertailun täyttävien alkulukujen potenssit, ovat tuntemattomia).

Jos yhdistelmäluku tyydyttää vertailun, ei tästä seuraa, että

{\binom {an}{bn}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {n^{k}}}.

Vaikka Wolstenholmin lauseen käänne on totta, sitä on vaikea käyttää primaalisuustestinä , koska ei ole tunnettua tapaa laskea modulobinomiaalikerrointa polynomiajassa . Toisaalta, jos se on totta, Wolstenholmin lauseen käännös voi olla hyödyllinen alkulukujen diofantiiniesityksen rakentamisessa (katso Hilbertin kymmenes tehtävä ), samoin kuin esimerkiksi Wilsonin lausetta . ${\tbinom {2n}{n))$ $\textstyle n^{3}$

Katso myös

Muistiinpanot

Linkit

Babbage, C. (1819), Alkulukuihin liittyvän lauseen esittely , The Edinburgh philosophical Journal, osa 1: 46–49 , < https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 >
Wolstenholme, J. (1862), Alkulukujen tietyistä ominaisuuksista , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, osa 5: 35–39 , < https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 >
McIntosh, RJ (1995), Wolstenholmen lauseen käänteessä , Acta Arithmetica osa 71(4): 381–389 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf >
E. B. Vinberg, "Binomiaalisten kertoimien yllättäviä aritmeettisia ominaisuuksia", Mat. valaistuminen, ser. 3, 12, Publishing House of MCNMO, M., 2008, 33-42
Pääsanasto: Wolstenholme prime
Wolstenholmen alkulukujen haun tila