Hilbertin lause 90

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Hilbertin lause 90 on yksi päälauseista äärellisille syklisille Galois'n laajennuksille .

Kertova muoto

Olkoon äärellisen syklisen laajennuksen Galois-ryhmä ja sen generaattori. Silloin minkä tahansa elementin normi on 1, jos ja vain jos on nollasta poikkeava elementti , joka on $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\alpha \in E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Todiste

Riittävyys on ilmeinen: jos sitten, kun otetaan huomioon normin monikertaisuus, meillä on Koska erotettavien laajennusten normi on yhtä suuri kuin kaikkien tulo ja sellaisen tuotteen soveltaminen johtaa vain tekijöiden permutaatioon, niin $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha )))).$ $\sigma _{i}(\alpha ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

Todistaaksemme tarpeellisuuden kirjoitamme seuraavan kartoituksen:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Merkkien lineaarista riippumattomuutta koskevan lauseen mukaan tämä kuvaus ei ole nolla. Siksi on olemassa elementti , jota varten $\gamma \in E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Jos sovellamme kartoitusta ja kerromme tuloksena olevan lausekkeen, niin ensimmäinen termi siirtyy toiseen ja niin edelleen ja viimeinen ensimmäiseen, koska $\sigma$ $\alpha,$ $\beta,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Sitten saamme, että meillä on jakaminen välttämättömyys on todistettu. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Additiivinen muoto

Olkoon äärellisen syklisen laajennuksen Galois-ryhmä ja sen generaattori. Tällöin elementin jälki on 0, jos ja vain jos on olemassa sellainen nollasta poikkeava elementti, että $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \in E$ $\alpha\in E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Riittävyystodistus on täysin analoginen kertolaskutapauksen kanssa, ja tarvittaessa tarkastelemme elementtiä , jolle ja rakennamme vaaditun muodossa: $\gamma \in E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alpha$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Kirjallisuus

Leng S. Algebra . - M .: Mir, 1967. - S. 243-244 .

Katso myös

Galois-kohomologia

David Hilbertin panos tieteeseen
tilat	Hilbertin avaruus Pre-Hilbertin tila Gilbert tiili
aksiomatiikka	Hilbertin aksiomaattinen
Lauseet	Hilbertin lause 90 Hilbertin peruslause Hilbertin nollalause Hilbert-Schmidtin lause
Operaattorit	Hilbertin muunnos Hilbert-Schmidt operaattori
Yleinen suhteellisuusteoria	Einstein-Hilbertin yhtälöt " Hilbert ja gravitaatiokenttäyhtälöt "
Muut	Hilbertin ongelmia Hilbertin käyrä Hilbertin matriisi Hilbert-Arnoldin ongelma Hilbert-sarja ja Hilbert-polynomi Paradoksi "Grand Hotel"