Grothendieckin jakolause

Grothendieckin jakolause antaa holomorfisten vektorinippujen luokituksen kompleksisen projektiivisen suoran yli . Hän nimittäin väittää, että jokainen holomorfinen vektorinippu yli on holomorfisten 1-ulotteisten nippujen suora summa $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ .

Historia

Lause on nimetty Alexander Grothendieckin mukaan, joka todisti sen vuonna 1957. [1] Se vastaa lausetta , jonka George Birkhoff todisti aiemmin vuonna 1913 [2] , mutta sen tunsivat jo vuonna 1908 Josip Plemel [3] ja vuonna 1905 David Hilbert . [neljä]

Formulaatiot

Grothendieckin sanamuoto

Jokainen ylittävä holomorfinen vektorinippu on holomorfisesti isomorfinen viivanippujen suoralle summalle: ${\mathcal {E}}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

{\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),

jossa tarkoittaa nippua Chern-luokan kanssa . Lisäksi tämä esitys on ainutlaatuinen termien permutaatioon asti. ${\mathcal {O}}(a)$ $a$

Birkhoffin muotoilu

Käännettävä matriisi , jonka jokainen komponentti on Laurentin polynomi , esitetään tulona $M$ $z$

M=M^{+}M^{0}M^{-}

missä matriisi on polynomi in , on diagonaalimatriisi ja matriisi on polynomi in . $M^{+}$ $z$ ${\displaystyle M^{0))$ $M^{-}$ ${\tfrac {1}{z))$

Sovellukset

Grothendieckin jakolausetta käytetään Micalefin ja Mooren pallolauseen todistuksessa positiiviselle kompleksoidulle kaarevuudelle isotrooppisissa suunnissa.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Sama tulos pätee minkä tahansa kentän algebrallisten vektorinippujen kohdalla . [5] ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1))$ $k$

Muistiinpanot

↑ Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann , American Journal of Mathematics, osa 79: 121-138, DOI 10.2307/2372388 .
↑ Birkhoff, George David (1909), Tavallisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden singulaariset pisteet , Transactions of the American Mathematical Society , osa 10 (4): 436–470, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1988594
↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Matematiikka. Phys. 19 (1908), nro. 1, 211–245.
↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
↑ Hazewinkel, Michiel & Martin, Clyde F. (1982), Lyhyt perustodiste Grothendieckin teoreemasta algebrallisista vektorinipuista projektiiviviivan yli , Journal of Pure and Applied Algebra , osa 25 (2): 207–211 , DOI 10.0216 -4049(82)90037-8

Kirjallisuus

Okonek, C.; Schneider, M. & Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces , Progress in Mathematics, Birkhäuser .