Dirichlet'n yksikkölause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Dirichlet'n yksikkölause on algebrallisen lukuteorian lause , joka kuvaa lukukentän algebrallisten kokonaislukujen renkaan käännettävien elementtien (kutsutaan myös yksiköiksi ) alaryhmän arvoa . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Sanamuoto

Antaa olla numerokenttä (eli rajallinen laajennus ) Ja antaa olla sen rengas kokonaislukuja. Tällöin käännettävien elementtien ryhmän arvo on yhtä suuri kuin , jossa on erilaisten upotusten lukumäärä reaalilukujen kentässä ja on niiden parien lukumäärä kompleksisia konjugaattisia eri upotuksia, jotka eivät ole puhtaasti todellisia. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Muistiinpanot

Toisin sanoen astekentän renkaassa on yksiköitä siten, että jokainen yksikkö esitetään yksilöllisesti ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

missä ovat kokonaisluvut, ja se on jokin luvun 1 juurista

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

Yksiköitä, joiden olemassaolo vahvistetaan Dirichlet'n lauseella, kutsutaan renkaan perusyksiköiksi . ${\displaystyle \varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{d))$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Jos missä on redusoitumattoman polynomin juuri, jolla on juuret , niin upotus on todellinen silloin ja vain jos on yhtälön todellinen juuri . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x) = 0$

Todistuskaavio

Oletuksena on, että on olemassa todellisia isomorfismeja ja monimutkaisia isomorfismeja . Todisteeksi kentän elementit esitetään kahdessa tilassa: lineaarinen ja logaritminen . $r$ ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r))$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma }}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma }}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - lomakkeen rivitila , jossa komponenttikohtainen yhteen- ja kertolasku. Määritellään muodossa , upottaminen on injektiivinen . Kentän kuva on tietty diskreetti hila - joukko muodon elementtejä , jossa , ja - jokin hilan kanta. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\to L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

Tila on järjestetty seuraavasti: , , , . - Muuntaa kertolaskun yhteenlaskuksi. Jos on normi , niin . $A$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ ${\näyttötyyli l(xy)=l(x)+l(y)}$ $N(\alpha )$ $\alpha$ $\ln N(\alpha )=\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Lisäksi tarkastellaan kentän yksiköiden (käännettävien elementtien) ryhmää . Joukko on kertolaskuryhmä. Jos , niin ts. joukko on rajoitettu, mikä tarkoittaa, että se on äärellinen, mikä tarkoittaa, että se koostuu juurista luvusta 1 ja on alaryhmä . Jos on mielivaltainen yksikkö, niin , , . Tämä yhtälö määrittelee ulottuvuuden hypertason . Kuva on hila kohdassa , koska se on yhteenlaskettu ryhmä ja diskreetti diskreetin hilan jatkuvana kuvana . $E$ $K$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepsilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $A$ $l(x(E))$ $x(E)$

Siten mikä tahansa yksikkö , on luvun 1 juuri . On vielä todistettava, että sijoitus on täsmälleen , tai se on täydellinen hila in . Hila avaruudessa on täydellinen, jos ja vain, jos avaruudessa on rajattu joukko , jonka siirtymät hilan kaikkien vektorien mukaan täyttävät koko avaruuden. Todistuksessa käytetään Minkowskin kuperaa runkolemmaa . Joukko otetaan lemman rungoksi . Sen tilavuus on . Minkowski-lemman soveltaminen antaa seuraavan seurauksen: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Jos hilan kantavektoreiden kattaman pääsuuntaissärmiön tilavuus on yhtä suuri ja luvut ovat sellaisia, että , niin hilassa on nollasta poikkeava vektori siten, että . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $x$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

Kaikille meillä on . Merkitse - hypertaso yhdensuuntainen kanssa . Olkoon - mielivaltainen, ja . Jos - on riittävän suuri, niin , ja siten edellä olevan Minkowski-lemman johdosta on olemassa sellainen, että , eli , . $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Nimetään mielivaltaiselle edellä mainitulle joukolle . On selvää, että kaikki joukot ovat rajallisia. , eli saadaan siirtämällä vektorin mukaan $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ ${\displaystyle Y_{\alpha ))$ ${\displaystyle Y_{\alpha ))$ $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ $Y_{\alpha \varepsilon }$ ${\displaystyle Y_{\alpha ))$ $l(\varepsilon )$

In on olemassa vain äärellinen määrä pareittain ei-assosioituneita lukuja , joiden normit ovat pienempiä kuin absoluuttisessa arvossa , eli jos , niin jollekin yksikölle . Koska ne kattavat kaikki , ja , se tarkoittaa, että kaikkien vektorien rajatun joukon siirtymät kattavat kaikki . Tämä tarkoittaa, että kaikkien vektorien rajatun joukon siirtymät kattavat kaiken , mikä todistaa lauseen. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $K$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ ${\displaystyle Y_{\alpha ))$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\kuppi ...\kuppi Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Koska asteen n laajennus täyttää , niin , ja yhtäläisyys pätee jos ja vain jos kaikki upotukset puhtaasti todellisiin . $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

Kentän yksikköryhmä tyhjenee juuriin luvusta 1, jos ja vain jos ts. for ja for on kuvitteellinen toisen asteen laajennus. Kaikissa muissa tapauksissa on aina vähintään yksi perusyksikkö. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

Pellin yhtälön ei-triviaalien kokonaisratkaisujen olemassaolo johdetaan tästä lauseesta, jota sovelletaan : n neliölliseen laajennukseen . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\mathbb {Q}$

Maksimiarvoisten käännettävien elementtien ryhmän tapaus liittyy [1] moniulotteisiin jatkuviin murtolukuihin .

Kirjallisuus

↑ V. I. Arnold. Ketjutetut jakeet . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Arkistoitu 8. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa

Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - M .: Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Numeroteoria . - M . : Nauka, fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1985. - S. 131 .